Problemas con coordenadas cartesianas y distancia entre puntos

El sistema de coordenadas cartesianas es una herramienta fundamental en geometría analítica, que permite representar puntos en un plano mediante pares ordenados \((x, y)\). Este sistema es esencial para resolver problemas relacionados con la distancia entre puntos, la pendiente de rectas, y muchas otras aplicaciones matemáticas. En este artículo, exploraremos cómo resolver problemas que involucran coordenadas cartesianas y la distancia entre puntos, con ejercicios resueltos paso a paso.

Conceptos básicos

En el plano cartesiano, un punto \(P\) se representa como \((x, y)\), donde \(x\) es la coordenada horizontal (abscisa) y \(y\) es la coordenada vertical (ordenada). La distancia entre dos puntos \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\) se calcula utilizando la fórmula de la distancia:

\[
d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]

Esta fórmula deriva del teorema de Pitágoras y es fundamental para resolver problemas geométricos en el plano.

Ejercicios resueltos

A continuación, presentamos dos ejercicios tipo examen resueltos paso a paso para que puedas practicar y comprender mejor estos conceptos.

Ejercicio 1: Calcular la distancia entre dos puntos

Enunciado: Dados los puntos \(A(3, 4)\) y \(B(-2, 1)\), calcula la distancia entre ellos.

Solución:

1. Identificamos las coordenadas de los puntos:
   • \(A(x_1, y_1) = (3, 4)\)
   • \(B(x_2, y_2) = (-2, 1)\)
2. Aplicamos la fórmula de la distancia:
   \[
   d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
   \]
3. Sustituimos los valores:
   \[
   d = \sqrt{(-2 – 3)^2 + (1 – 4)^2}
   \]
4. Realizamos las operaciones:
   \[
   d = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}
   \]
5. El resultado es:
   \[
   d = \sqrt{34} \approx 5.83
   \]

Por lo tanto, la distancia entre los puntos \(A\) y \(B\) es \(\sqrt{34}\) unidades.

Ejercicio 2: Verificar si tres puntos forman un triángulo rectángulo

Enunciado: Dados los puntos \(P(1, 2)\), \(Q(4, 6)\) y \(R(6, 3)\), verifica si forman un triángulo rectángulo.

Solución:

1. Calculamos las distancias entre cada par de puntos:
   • Distancia entre \(P\) y \(Q\):
     \[
     d_{PQ} = \sqrt{(4 – 1)^2 + (6 – 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
     \]
   • Distancia entre \(Q\) y \(R\):
     \[
     d_{QR} = \sqrt{(6 – 4)^2 + (3 – 6)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
     \]
   • Distancia entre \(P\) y \(R\):
     \[
     d_{PR} = \sqrt{(6 – 1)^2 + (3 – 2)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}
     \]
2. Verificamos si se cumple el teorema de Pitágoras para alguna combinación de distancias:
   • Comprobamos si \(d_{PQ}^2 + d_{QR}^2 = d_{PR}^2\):
     \[
     5^2 + (\sqrt{13})^2 = 25 + 13 = 38 \neq 26 = (\sqrt{26})^2
     \]
   • Comprobamos si \(d_{PQ}^2 + d_{PR}^2 = d_{QR}^2\):
     \[
     5^2 + (\sqrt{26})^2 = 25 + 26 = 51 \neq 13 = (\sqrt{13})^2
     \]
   • Comprobamos si \(d_{QR}^2 + d_{PR}^2 = d_{PQ}^2\):
     \[
     (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{26})^2 = 13 + 26 = 39 \neq 25 = 5^2
     \]
3. Ninguna de las combinaciones cumple el teorema de Pitágoras, por lo que los puntos no forman un triángulo rectángulo.

Por lo tanto, los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\) no forman un triángulo rectángulo.

Conclusión

El sistema de coordenadas cartesianas y la fórmula de la distancia son herramientas esenciales para resolver problemas geométricos en el plano. A través de los ejercicios resueltos, hemos visto cómo aplicar estos conceptos para calcular distancias y verificar propiedades geométricas. Practicar con más ejercicios similares te ayudará a dominar estos temas y a prepararte para exámenes y aplicaciones avanzadas.