Introducción
La estadística es el lenguaje de la ciencia moderna. Desde la medicina hasta la física cuántica, los métodos estadísticos permiten extraer conclusiones confiables de datos complejos. En este artículo exploraremos técnicas fundamentales, demostraremos teoremas clave y resolveremos ejercicios prácticos para dominar su aplicación. Si deseas reforzar tus bases, te recomendamos nuestro artículo sobre Introducción a la Estadística.
1. Distribuciones de Probabilidad
Las distribuciones modelan el comportamiento de variables aleatorias. Dos fundamentales son:
Ejemplo: Distribución Normal
La altura de adultos en una ciudad sigue $N(170, 15^2)$. La probabilidad de que una persona mida menos de 185 cm es:
$$P(X < 185) = \Phi\left(\frac{185-170}{15}\right) = \Phi(1) \approx 0.8413$$
Teorema del Límite Central
Dadas $n$ variables i.i.d. con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, la suma estandarizada converge a $N(0,1)$:
$$\frac{S_n – n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$$
Demostración (bosquejo):
Usando funciones características, $\phi_{S_n}(t) = [\phi_X(t/\sqrt{n})]^n \approx e^{-t^2/2}$ cuando $n \to \infty$.
2. Pruebas de Hipótesis
Permiten validar afirmaciones sobre parámetros poblacionales:
Ejercicio 1: Test Z para media
Enunciado: Una muestra de 36 baterías tiene vida media de 120h con $\sigma=12h$. ¿Contradice $\mu \geq 125h$ con $\alpha=0.05$?
Solución:
- $H_0: \mu \geq 125$, $H_1: \mu < 125$
- Estadístico: $Z = \frac{120-125}{12/\sqrt{36}} = -2.5$
- Valor crítico: $-z_{0.05} = -1.645$
- Como $-2.5 < -1.645$, rechazamos $H_0$
3. Regresión Lineal
Modela relaciones entre variables. Para más detalles, visita nuestro guía de Modelos Lineales.
Teorema de Gauss-Markov
Los estimadores MCO son MELI (Mejores Estimadores Lineales Insesgados) bajo los supuestos clásicos.
Demostración:
Sea $\tilde{\beta}$ otro estimador lineal. Se muestra que $Var(\hat{\beta}) \leq Var(\tilde{\beta})$ usando propiedades de matrices definidas positivas.
4. Análisis de Varianza (ANOVA)
Compara medias entre múltiples grupos:
Ejemplo: ANOVA unidireccional
Comparando 3 métodos de enseñanza con $n=10$ cada uno:
| Fuente | gl | SC | CM | F |
|---|---|---|---|---|
| Entre | 2 | 120 | 60 | 7.5 |
| Dentro | 27 | 216 | 8 |
Como $F_{crítico} = 3.35 < 7.5$, rechazamos igualdad de medias.
5. Ejercicios Resueltos
Ejercicio 2: Intervalo de confianza
Enunciado: Con $\bar{x}=50$, $s=8$, $n=25$, construye un IC del 95% para $\mu$.
Solución:
$$50 \pm t_{0.025,24}\frac{8}{5} = 50 \pm 2.064 \times 1.6 = [46.70, 53.30]$$
Ejercicio 3: Correlación
Enunciado: Calcula $r$ para los pares $(1,2)$, $(3,5)$, $(4,7)$.
Solución:
$$\begin{aligned}
\text{Cov}(X,Y) &= 2.33 \\
s_X &= 1.53, \quad s_Y = 2.52 \\
r &= \frac{2.33}{1.53 \times 2.52} \approx 0.96
\end{aligned}$$
Aplicaciones Prácticas
- Medicina: Ensayos clínicos controlados
- Economía: Pronósticos de inflación
- Ingeniería: Control de calidad Six Sigma
- Ciencias Sociales: Análisis de encuestas
Conclusión
Hemos explorado métodos estadísticos esenciales: desde distribuciones probabilísticas hasta pruebas de hipótesis y regresión. Los teoremas presentados (Límite Central, Gauss-Markov) fundamentan estas técnicas, mientras que los ejercicios ilustran su aplicación. La estadística sigue siendo pilar en la investigación científica, permitiendo tomar decisiones basadas en evidencia cuantitativa.
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