Los sólidos cristalinos se caracterizan por una disposición periódica y ordenada de átomos, iones o moléculas en el espacio. Esta periodicidad se describe mediante redes de Bravais, que son arreglos infinitos de puntos discretos con simetría traslacional. Existen 14 tipos de redes de Bravais en 3D, clasificadas en 7 sistemas cristalinos (cúbico, tetragonal, ortorrómbico, etc.).
La posición de los átomos en un cristal se puede expresar mediante vectores de la red primitiva $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$, donde cualquier punto de la red se describe como:
$$ \mathbf{R} = n_1\mathbf{a}_1 + n_2\mathbf{a}_2 + n_3\mathbf{a}_3 \quad (n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{Z}) $$
Para un cristal con una base de átomos en posiciones $\mathbf{r}_j$, el factor de estructura $S(\mathbf{k})$ que determina los picos de difracción es:
$$ S(\mathbf{k}) = \sum_j f_j e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} $$
donde $f_j$ es el factor de dispersión atómica y $\mathbf{k}$ es el vector de dispersión.
La teoría de bandas explica las propiedades electrónicas de los materiales. Cuando los átomos se acercan para formar un sólido, sus niveles atómicos discretos se ensanchan en bandas de energía debido al principio de exclusión de Pauli y la interacción entre electrones.
La aproximación de electrones casi libres en un potencial periódico $V(\mathbf{r})$ lleva a la ecuación de Schrödinger:
$$ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) $$
cuya solución son los bloques de ondas $\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$, donde $u_{n\mathbf{k}}$ tiene la periodicidad de la red.
La energía de brecha ($E_g$) entre la banda de valencia y conducción determina si un material es conductor, semiconductor o aislante. Para el silicio a temperatura ambiente:
$$ E_g(Si) = 1.12 \text{ eV} $$
Los semiconductores puros (intrínsecos) tienen una concentración de electrones ($n$) y huecos ($p$) dada por:
$$ n = p = n_i = 2 \left( \frac{2\pi m^* k_B T}{h^2} \right)^{3/2} e^{-E_g/(2k_B T)} $$
donde $n_i$ es la concentración intrínseca, $m^*$ la masa efectiva y $T$ la temperatura.
Los semiconductores extrínsecos se dopan con impurezas:
En un semiconductor tipo-n con densidad de donadores $N_d$, la concentración de electrones a temperatura ambiente es aproximadamente:
$$ n \approx N_d $$
Los semiconductores son la base de la electrónica moderna:
$$ I_D = \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} \left( (V_{GS} – V_{th})V_{DS} – \frac{V_{DS}^2}{2} \right) $$
Las células fotovoltaicas convierten luz en electricidad mediante el efecto fotoeléctrico en uniones p-n. La eficiencia depende de la absorción de fotones con energía mayor que $E_g$.
Los puntos cuánticos semiconductores (ej. en GaAs) se usan como qubits, donde los estados electrónicos discretos permiten manipulación cuántica.
Los semiconductores como el ZnO se utilizan en sensores de gas, donde la conductividad cambia al adsorber moléculas objetivo.
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