Ejercicios con razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Conceptos básicos

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas se definen en función de uno de los ángulos agudos. Consideremos un triángulo rectángulo con un ángulo agudo \( \theta \). Los lados del triángulo se denominan:

• Hipotenusa (h): El lado opuesto al ángulo recto y el más largo del triángulo.
• Cateto opuesto (co): El lado opuesto al ángulo \( \theta \).
• Cateto adyacente (ca): El lado adyacente al ángulo \( \theta \).

Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:

• \( \sin(\theta) = \frac{\text{co}}{\text{h}} \)
• \( \cos(\theta) = \frac{\text{ca}}{\text{h}} \)
• \( \tan(\theta) = \frac{\text{co}}{\text{ca}} \)

Ejercicios resueltos

A continuación, resolveremos dos ejercicios tipo examen que involucran razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Ejercicio 1

Enunciado: En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo \( \theta \) mide 6 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Calcula \( \sin(\theta) \), \( \cos(\theta) \) y \( \tan(\theta) \).

Solución:

1. Identificamos los datos:
   • Cateto opuesto (\( \text{co} \)) = 6 cm
   • Hipotenusa (\( \text{h} \)) = 10 cm
2. Calculamos \( \sin(\theta) \):
   \[
   \sin(\theta) = \frac{\text{co}}{\text{h}} = \frac{6}{10} = 0.6
   \]
3. Para calcular \( \cos(\theta) \), primero necesitamos el cateto adyacente (\( \text{ca} \)). Usamos el teorema de Pitágoras:
   \[
   \text{ca} = \sqrt{\text{h}^2 – \text{co}^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}
   \]
4. Ahora calculamos \( \cos(\theta) \):
   \[
   \cos(\theta) = \frac{\text{ca}}{\text{h}} = \frac{8}{10} = 0.8
   \]
5. Finalmente, calculamos \( \tan(\theta) \):
   \[
   \tan(\theta) = \frac{\text{co}}{\text{ca}} = \frac{6}{8} = 0.75
   \]

Respuesta: \( \sin(\theta) = 0.6 \), \( \cos(\theta) = 0.8 \), \( \tan(\theta) = 0.75 \).

Ejercicio 2

Enunciado: En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente a un ángulo \( \theta \) mide 5 cm y la hipotenusa mide 13 cm. Determina el valor del cateto opuesto y calcula \( \tan(\theta) \).

Solución:

1. Identificamos los datos:
   • Cateto adyacente (\( \text{ca} \)) = 5 cm
   • Hipotenusa (\( \text{h} \)) = 13 cm
2. Calculamos el cateto opuesto (\( \text{co} \)) usando el teorema de Pitágoras:
   \[
   \text{co} = \sqrt{\text{h}^2 – \text{ca}^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
   \]
3. Ahora calculamos \( \tan(\theta) \):
   \[
   \tan(\theta) = \frac{\text{co}}{\text{ca}} = \frac{12}{5} = 2.4
   \]

Respuesta: El cateto opuesto mide 12 cm y \( \tan(\theta) = 2.4 \).

Consejos para resolver problemas

Al resolver ejercicios de trigonometría en triángulos rectángulos, es útil seguir estos pasos:

• Identificar los lados del triángulo (hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente) en relación con el ángulo dado.
• Usar el teorema de Pitágoras si falta la longitud de un lado.
• Aplicar las razones trigonométricas adecuadas según los datos proporcionados.
• Verificar las unidades y redondear los resultados si es necesario.

Con práctica y comprensión de estos conceptos, resolver problemas de trigonometría en triángulos rectángulos se volverá más sencillo. ¡Sigue practicando!