Introducción
Los sistemas de ecuaciones lineales son fundamentales en álgebra y tienen aplicaciones en física, ingeniería, economía y más. Resolverlos eficientemente es clave para modelar problemas reales. En este artículo, exploraremos métodos clásicos como sustitución, eliminación, matrices y determinantes, junto con teoremas y ejercicios prácticos.
1. Método de Sustitución
Este método consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituirla en otra. Ideal para sistemas pequeños.
Ejemplo 1
Resolver el sistema:
$$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases} $$
Solución: Despejamos $x$ de la segunda ecuación: $x = y + 1$. Sustituimos en la primera:
$$ 2(y + 1) + y = 5 \Rightarrow 3y + 2 = 5 \Rightarrow y = 1 $$
Luego, $x = 1 + 1 = 2$. La solución es $(2, 1)$.
2. Método de Eliminación
Se suman o restan ecuaciones para eliminar una variable. Útil cuando los coeficientes son simétricos.
Ejemplo 2
Resolver:
$$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x – y = -1 \end{cases} $$
Solución: Multiplicamos la segunda ecuación por 2: $2x – 2y = -2$. Sumamos a la primera:
$$ 5x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{5} $$
Sustituyendo: $\frac{6}{5} – y = -1 \Rightarrow y = \frac{11}{5}$. Solución: $\left(\frac{6}{5}, \frac{11}{5}\right)$.
3. Método de Matrices (Regla de Cramer)
Usa determinantes para resolver sistemas cuadrados con solución única.
Teorema 1: Regla de Cramer
Para un sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ con $A$ invertible, la solución es:
$$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$
donde $A_i$ es la matriz $A$ con la columna $i$ reemplazada por $\mathbf{b}$.
Demostración: Como $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, entonces $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. Usando la adjunta: $x_i = \frac{1}{\det(A)} \sum_{j=1}^n b_j C_{ji}$, donde $C_{ji}$ son cofactores. Esto coincide con $\frac{\det(A_i)}{\det(A)}$.
4. Método de Gauss-Jordan
Transforma la matriz aumentada a forma escalonada reducida mediante operaciones elementales.
Ejemplo 3
Resolver:
$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2y + 5z = -4 \\ 2x + 5y – z = 27 \end{cases} $$
Solución: La matriz aumentada es:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & 5 & -4 \\ 2 & 5 & -1 & 27 \end{bmatrix} $$
Tras aplicar Gauss-Jordan, obtenemos $x = 5$, $y = 3$, $z = -2$.
5. Teorema de Rouché-Frobenius
Teorema 2: Rouché-Frobenius
Un sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tiene solución si y solo si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|\mathbf{b})$.
Demostración: Si $\mathbf{b}$ es combinación lineal de las columnas de $A$, los rangos coinciden. Si no, el sistema es incompatible.
6. Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1
Resolver por sustitución:
$$ \begin{cases} x + 3y = 10 \\ 2x – y = -1 \end{cases} $$
Solución: Despejamos $x = 10 – 3y$. Sustituimos: $2(10 – 3y) – y = -1 \Rightarrow y = 3$. Luego, $x = 1$.
Ejercicio 2
Resolver por eliminación:
$$ \begin{cases} 4x – 3y = 1 \\ x + 2y = 12 \end{cases} $$
Solución: Multiplicamos la segunda por 4 y restamos: $-11y = -47 \Rightarrow y = \frac{47}{11}$. Luego, $x = \frac{38}{11}$.
Aplicaciones Prácticas
Los sistemas lineales modelan:
- Circuitos eléctricos: Leyes de Kirchhoff generan sistemas lineales.
- Economía: Modelos de oferta y demanda.
- Ingeniería: Análisis de estructuras y fuerzas.
Conclusión
Hemos explorado métodos clave para resolver sistemas lineales, desde técnicas básicas como sustitución hasta herramientas avanzadas como matrices y teoremas de existencia. Estos conceptos son esenciales para aplicaciones científicas y tecnológicas.
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