Las distribuciones de probabilidad son fundamentales en estadística y permiten modelar el comportamiento de variables aleatorias. En este artículo, te presentamos un simulacro de examen con preguntas resueltas, explicaciones detalladas y ejemplos prácticos para que puedas prepararte de manera efectiva.
Pregunta 1: Distribución Binomial
Un examen consta de 10 preguntas de opción múltiple, cada una con 4 opciones. Si un estudiante responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente 3 preguntas?
Solución:
Este problema sigue una distribución binomial, donde:
- Número de ensayos (\(n\)) = 10
- Probabilidad de éxito (\(p\)) = \(\frac{1}{4}\)
- Número de éxitos deseados (\(k\)) = 3
La fórmula de la distribución binomial es:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]
Donde \(C(n, k)\) es el coeficiente binomial. Aplicando los valores:
\[
P(X = 3) = C(10, 3) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^7
\]
Calculamos \(C(10, 3) = 120\) y sustituimos:
\[
P(X = 3) = 120 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{2187}{16384} \approx 0.2503
\]
Por lo tanto, la probabilidad es aproximadamente 25.03%.
Pregunta 2: Distribución Normal
Las calificaciones de un examen siguen una distribución normal con media \(\mu = 70\) y desviación estándar \(\sigma = 10\). ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación entre 65 y 85?
Solución:
Para resolver este problema, utilizamos la distribución normal estándar. Primero, convertimos los valores a puntuaciones \(z\):
\[
z = \frac{X – \mu}{\sigma}
\]
Para \(X = 65\):
\[
z_1 = \frac{65 – 70}{10} = -0.5
\]
Para \(X = 85\):
\[
z_2 = \frac{85 – 70}{10} = 1.5
\]
Usando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos:
- \(P(Z \leq -0.5) = 0.3085\)
- \(P(Z \leq 1.5) = 0.9332\)
La probabilidad de que \(X\) esté entre 65 y 85 es:
\[
P(65 \leq X \leq 85) = P(Z \leq 1.5) – P(Z \leq -0.5) = 0.9332 – 0.3085 = 0.6247
\]
Por lo tanto, la probabilidad es aproximadamente 62.47%.
Pregunta 3: Distribución de Poisson
En un centro de llamadas, el número promedio de llamadas por hora es 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban exactamente 4 llamadas?
Solución:
Este problema sigue una distribución de Poisson, donde:
- Número promedio de eventos (\(\lambda\)) = 5
- Número de eventos deseados (\(k\)) = 4
La fórmula de la distribución de Poisson es:
\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}
\]
Aplicando los valores:
\[
P(X = 4) = \frac{e^{-5} \cdot 5^4}{4!}
\]
Calculamos \(e^{-5} \approx 0.0067\) y \(5^4 = 625\), y \(4! = 24\):
\[
P(X = 4) = \frac{0.0067 \cdot 625}{24} \approx 0.1755
\]
Por lo tanto, la probabilidad es aproximadamente 17.55%.
Ejemplo Práctico: Aplicación en la Vida Real
Imagina que trabajas en una empresa de logística y necesitas predecir el número de paquetes que llegarán a un almacén en un día. Sabes que, en promedio, llegan 20 paquetes diarios. Si modelas esto con una distribución de Poisson, puedes calcular la probabilidad de que lleguen exactamente 25 paquetes en un día:
\[
P(X = 25) = \frac{e^{-20} \cdot 20^{25}}{25!}
\]
Este tipo de cálculos son útiles para planificar recursos y optimizar operaciones.