El álgebra con radicales es una parte fundamental de las matemáticas que requiere un buen manejo de las propiedades de las raíces y las operaciones asociadas. En este artículo, exploraremos problemas típicos que podrían aparecer en un examen, junto con soluciones detalladas paso a paso. Además, utilizaremos expresiones en LaTeX para representar ecuaciones de manera clara y precisa.
Conceptos básicos
Antes de resolver problemas, es importante recordar algunas propiedades clave de los radicales:
- \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)
- \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
- \(\sqrt{a^2} = |a|\)
- \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\)
Estas propiedades nos permiten simplificar expresiones radicales y resolver ecuaciones de manera eficiente.
Problema 1: Simplificación de radicales
Enunciado: Simplifica la expresión \(\sqrt{50} + \sqrt{18}\).
Solución:
Para simplificar esta expresión, descomponemos los números dentro de las raíces en factores primos:
\[
\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}
\]
\[
\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}
\]
Ahora, sumamos las expresiones simplificadas:
\[
\sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5 + 3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
\]
Por lo tanto, la expresión simplificada es \(8\sqrt{2}\).
Problema 2: Resolución de ecuaciones con radicales
Enunciado: Resuelve la ecuación \(\sqrt{2x + 3} = 5\).
Solución:
Para resolver esta ecuación, seguimos los siguientes pasos:
- Elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada:
- Resolvemos la ecuación lineal resultante:
\[
(\sqrt{2x + 3})^2 = 5^2
\]
\[
2x + 3 = 25
\]
\[
2x = 25 – 3
\]
\[
2x = 22
\]
\[
x = \frac{22}{2} = 11
\]
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \(x = 11\).
Problema 3: Operaciones con radicales
Enunciado: Simplifica la expresión \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} + \sqrt{27}\).
Solución:
Primero, simplificamos cada término por separado:
\[
\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2
\]
\[
\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}
\]
Ahora, sumamos los términos simplificados:
\[
\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} + \sqrt{27} = 2 + 3\sqrt{3}
\]
Por lo tanto, la expresión simplificada es \(2 + 3\sqrt{3}\).
Problema 4: Ecuación con dos radicales
Enunciado: Resuelve la ecuación \(\sqrt{x + 5} – \sqrt{x – 3} = 2\).
Solución:
Para resolver esta ecuación, seguimos los siguientes pasos:
- Aislamos uno de los radicales:
- Elevamos ambos lados al cuadrado:
- Simplificamos la ecuación:
- Elevamos ambos lados al cuadrado nuevamente:
\[
\sqrt{x + 5} = 2 + \sqrt{x – 3}
\]
\[
(\sqrt{x + 5})^2 = (2 + \sqrt{x – 3})^2
\]
\[
x + 5 = 4 + 4\sqrt{x – 3} + (x – 3)
\]
\[
x + 5 = x + 1 + 4\sqrt{x – 3}
\]
\[
5 = 1 + 4\sqrt{x – 3}
\]
\[
4 = 4\sqrt{x – 3}
\]
\[
\sqrt{x – 3} = 1
\]
\[
(\sqrt{x – 3})^2 = 1^2
\]
\[
x – 3 = 1
\]
\[
x = 4
\]
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \(x = 4\).
Conclusión
Los problemas de álgebra con radicales pueden parecer complicados al principio, pero con un buen entendimiento de las propiedades de las raíces y un enfoque sistemático, se pueden resolver de manera efectiva. Practicar con ejercicios como los presentados aquí te ayudará a ganar confianza y mejorar tus habilidades en este tema.