La factorización de polinomios es una habilidad fundamental en álgebra que permite descomponer expresiones polinómicas en productos de factores más simples. Este proceso es esencial para resolver ecuaciones, simplificar expresiones y analizar funciones. A continuación, presentamos una serie de preguntas tipo examen, resueltas paso a paso, que te ayudarán a dominar este tema.
Pregunta 1: Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Enunciado: Factoriza el siguiente polinomio: \( x^2 + 6x + 9 \).
Solución:
Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \). Identificamos los términos:
- \( a^2 = x^2 \) ⇒ \( a = x \)
- \( b^2 = 9 \) ⇒ \( b = 3 \)
- Verificamos que \( 2ab = 6x \): \( 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \).
Por lo tanto, el polinomio factorizado es:
\[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \]
Pregunta 2: Factorización por agrupación
Enunciado: Factoriza el siguiente polinomio: \( 2x^3 + 4x^2 + 3x + 6 \).
Solución:
Agrupamos los términos en parejas:
\[ (2x^3 + 4x^2) + (3x + 6) \]
Factorizamos cada grupo por separado:
- \( 2x^3 + 4x^2 = 2x^2(x + 2) \)
- \( 3x + 6 = 3(x + 2) \)
Observamos que \( (x + 2) \) es un factor común. Por lo tanto, el polinomio factorizado es:
\[ 2x^3 + 4x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(2x^2 + 3) \]
Pregunta 3: Factorización de una diferencia de cuadrados
Enunciado: Factoriza el siguiente polinomio: \( 16x^2 – 25 \).
Solución:
Una diferencia de cuadrados tiene la forma \( a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) \). Identificamos los términos:
- \( a^2 = 16x^2 \) ⇒ \( a = 4x \)
- \( b^2 = 25 \) ⇒ \( b = 5 \)
Por lo tanto, el polinomio factorizado es:
\[ 16x^2 – 25 = (4x + 5)(4x – 5) \]
Pregunta 4: Factorización de un trinomio de la forma \( ax^2 + bx + c \)
Enunciado: Factoriza el siguiente polinomio: \( 3x^2 + 11x + 6 \).
Solución:
Buscamos dos números que multipliquen a \( 3 \cdot 6 = 18 \) y sumen \( 11 \). Estos números son \( 9 \) y \( 2 \). Reescribimos el polinomio:
\[ 3x^2 + 9x + 2x + 6 \]
Agrupamos y factorizamos:
- \( 3x^2 + 9x = 3x(x + 3) \)
- \( 2x + 6 = 2(x + 3) \)
El factor común es \( (x + 3) \), por lo que el polinomio factorizado es:
\[ 3x^2 + 11x + 6 = (x + 3)(3x + 2) \]
Pregunta 5: Factorización de un polinomio cúbico
Enunciado: Factoriza el siguiente polinomio: \( x^3 – 8 \).
Solución:
Reconocemos que \( x^3 – 8 \) es una diferencia de cubos, que tiene la forma \( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \). Identificamos los términos:
- \( a^3 = x^3 \) ⇒ \( a = x \)
- \( b^3 = 8 \) ⇒ \( b = 2 \)
Aplicamos la fórmula:
\[ x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \]
Pregunta 6: Factorización de un polinomio con factor común
Enunciado: Factoriza el siguiente polinomio: \( 5x^4 – 10x^3 + 15x^2 \).
Solución:
Identificamos el factor común en todos los términos, que es \( 5x^2 \). Factorizamos:
\[ 5x^4 – 10x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 – 2x + 3) \]
Conclusión
La factorización de polinomios es una herramienta poderosa en álgebra que requiere práctica y comprensión de diferentes métodos. A través de estos ejemplos resueltos, puedes familiarizarte con las técnicas más comunes, como la factorización por agrupación, la identificación de trinomios cuadrados perfectos y la aplicación de fórmulas para diferencias de cuadrados y cubos. Continúa practicando para dominar este tema esencial.