Las desigualdades son un tema fundamental en álgebra y aparecen con frecuencia en exámenes de matemáticas. A continuación, exploraremos algunas preguntas comunes que suelen aparecer en exámenes, junto con sus soluciones detalladas y ejemplos prácticos.
1. Resolver una desigualdad lineal
Una de las preguntas más básicas es resolver una desigualdad lineal. Por ejemplo:
Pregunta: Resuelve la desigualdad \( 3x – 5 < 10 \).
Solución:
- Suma 5 a ambos lados de la desigualdad:
\[
3x – 5 + 5 < 10 + 5 \implies 3x < 15 \] - Divide ambos lados por 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{15}{3} \implies x < 5 \]
Por lo tanto, la solución es \( x < 5 \).
2. Desigualdades compuestas
Las desigualdades compuestas involucran dos desigualdades unidas por «y» o «o». Por ejemplo:
Pregunta: Resuelve la desigualdad compuesta \( -4 \leq 2x + 6 < 8 \).
Solución:
- Resuelve la primera parte de la desigualdad:
\[
-4 \leq 2x + 6
\]
Resta 6 a ambos lados:
\[
-4 – 6 \leq 2x \implies -10 \leq 2x
\]
Divide ambos lados por 2:
\[
-5 \leq x
\] - Resuelve la segunda parte de la desigualdad:
\[
2x + 6 < 8 \] Resta 6 a ambos lados: \[ 2x < 2 \] Divide ambos lados por 2: \[ x < 1 \] - Combina las dos soluciones:
\[
-5 \leq x < 1 \]
La solución es \( -5 \leq x < 1 \).
3. Desigualdades cuadráticas
Las desigualdades cuadráticas son más complejas y requieren un enfoque diferente. Por ejemplo:
Pregunta: Resuelve la desigualdad \( x^2 – 5x + 6 > 0 \).
Solución:
- Factoriza la expresión cuadrática:
\[
x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
\] - Encuentra los puntos críticos:
\[
x – 2 = 0 \implies x = 2
\]
\[
x – 3 = 0 \implies x = 3
\] - Divide la recta numérica en intervalos usando los puntos críticos:
- Intervalo 1: \( x < 2 \)
- Intervalo 2: \( 2 < x < 3 \)
- Intervalo 3: \( x > 3 \)
- Prueba un valor en cada intervalo para determinar el signo de la expresión:
- Para \( x < 2 \), usa \( x = 1 \):
\[
(1 - 2)(1 - 3) = (-1)(-2) = 2 > 0
\] - Para \( 2 < x < 3 \), usa \( x = 2.5 \): \[ (2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0 \]
- Para \( x > 3 \), usa \( x = 4 \):
\[
(4 – 2)(4 – 3) = (2)(1) = 2 > 0
\]
- Para \( x < 2 \), usa \( x = 1 \):
\[
(1 - 2)(1 - 3) = (-1)(-2) = 2 > 0
- La desigualdad \( x^2 – 5x + 6 > 0 \) es verdadera cuando la expresión es positiva, es decir, en los intervalos \( x < 2 \) y \( x > 3 \).
Por lo tanto, la solución es \( x < 2 \) o \( x > 3 \).
4. Desigualdades con valor absoluto
Las desigualdades con valor absoluto requieren un enfoque especial. Por ejemplo:
Pregunta: Resuelve la desigualdad \( |2x – 3| \leq 7 \).
Solución:
- La desigualdad \( |2x – 3| \leq 7 \) se puede reescribir como:
\[
-7 \leq 2x – 3 \leq 7
\] - Resuelve la parte izquierda de la desigualdad:
\[
-7 \leq 2x – 3
\]
Suma 3 a ambos lados:
\[
-4 \leq 2x
\]
Divide ambos lados por 2:
\[
-2 \leq x
\] - Resuelve la parte derecha de la desigualdad:
\[
2x – 3 \leq 7
\]
Suma 3 a ambos lados:
\[
2x \leq 10
\]
Divide ambos lados por 2:
\[
x \leq 5
\] - Combina las dos soluciones:
\[
-2 \leq x \leq 5
\]
La solución es \( -2 \leq x \leq 5 \).
5. Desigualdades racionales
Las desigualdades racionales involucran fracciones y requieren un análisis cuidadoso. Por ejemplo:
Pregunta: Resuelve la desigualdad \( \frac{x + 1}{x – 2} \geq 0 \).
Solución:
- Encuentra los puntos críticos:
- El numerador es cero cuando \( x + 1 = 0 \implies x = -1 \).
- El denominador es cero cuando \( x – 2 = 0 \implies x = 2 \).
- Divide la recta numérica en intervalos usando los puntos críticos:
- Intervalo 1: \( x < -1 \)
- Intervalo 2: \( -1 < x < 2 \)
- Intervalo 3: \( x > 2 \)
- Prueba un valor en cada intervalo para determinar el signo de la expresión:
- Para \( x < -1 \), usa \( x = -2 \):
\[
\frac{-2 + 1}{-2 - 2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0
\] - Para \( -1 < x < 2 \), usa \( x = 0 \): \[ \frac{0 + 1}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} < 0 \]
- Para \( x > 2 \), usa \( x = 3 \):
\[
\frac{3 + 1}{3 – 2} = \frac{4}{1} = 4 > 0
\]
- Para \( x < -1 \), usa \( x = -2 \):
\[
\frac{-2 + 1}{-2 - 2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0
- La desigualdad \( \frac{x + 1}{x – 2} \geq 0 \) es verdadera cuando la expresión es positiva o cero, es decir, en los intervalos \( x \leq -1 \) y \( x > 2 \).
Por lo tanto, la solución es \( x \leq -1 \) o \( x > 2 \).
Estas son algunas de las preguntas más comunes sobre desigualdades que puedes encontrar en un examen. Practicar con estos ejemplos te ayudará a comprender mejor el tema y a estar preparado para cualquier problema que se te presente.