La geometría de espacios vectoriales es una rama fundamental de las matemáticas que combina conceptos algebraicos y geométricos para estudiar las propiedades de conjuntos de vectores. Un espacio vectorial es una estructura algebraica formada por un conjunto de elementos llamados vectores, junto con dos operaciones: la suma de vectores y la multiplicación por escalares (números reales o complejos).
Los espacios vectoriales tienen su origen en el estudio de los vectores geométricos en el plano y el espacio tridimensional, pero su concepto se ha generalizado para incluir espacios de cualquier dimensión, incluso infinitas. Las propiedades fundamentales que definen un espacio vectorial incluyen:
La geometría en estos espacios estudia conceptos como líneas, planos, hiperplanos, ángulos entre vectores, distancias, proyecciones y transformaciones lineales. Estas nociones son esenciales en múltiples áreas de las matemáticas y sus aplicaciones prácticas, desde la física hasta la ingeniería y la ciencia de datos.
Para comprender completamente la geometría de espacios vectoriales, es esencial familiarizarse con su estructura básica y propiedades fundamentales. Un espacio vectorial V sobre un campo F (generalmente los números reales ℝ o complejos ℂ) consta de:
Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones. Para que un subconjunto W de V sea un subespacio, debe cumplir:
Una combinación lineal de vectores v₁, v₂, …, vₙ en V es una expresión de la forma:
$$ c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n $$
donde c₁, c₂, …, cₙ son escalares. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de un conjunto de vectores se llama espacio generado o span de esos vectores.
Un conjunto de vectores {v₁, v₂, …, vₙ} es linealmente independiente si la única combinación lineal que produce el vector cero es aquella en la que todos los escalares son cero:
$$ c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n = 0 \Rightarrow c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 $$
Si existe una combinación lineal no trivial que da el vector cero, los vectores son linealmente dependientes.
Una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores que es linealmente independiente y que genera todo el espacio V. Las bases son fundamentales porque:
La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en cualquiera de sus bases. Este número es invariante; todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Por ejemplo:
Dada una base B = {v₁, v₂, …, vₙ} de V, cualquier vector v ∈ V puede expresarse de manera única como:
$$ v = c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n $$
Los escalares (c₁, c₂, …, cₙ) se llaman coordenadas de v respecto a la base B.
Para introducir conceptos geométricos como ángulos y distancias en espacios vectoriales, necesitamos la noción de producto interno (o producto escalar). Un producto interno en un espacio vectorial real V es una función que a cada par de vectores u, v ∈ V asocia un número real ⟨u, v⟩, satisfaciendo:
La norma (o longitud) de un vector v se define como:
$$ \|v\| = \sqrt{\langle v, v \rangle} $$
La distancia entre dos vectores u y v es entonces:
$$ d(u, v) = \|u – v\| $$
Dos vectores u y v son ortogonales si su producto interno es cero:
$$ \langle u, v \rangle = 0 $$
Un conjunto de vectores es ortonormal si todos son ortogonales entre sí y cada uno tiene norma 1.
Demostrar que el conjunto W = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x + y + z = 0} es un subespacio vectorial de ℝ³.
Solución:
1. Contiene el vector cero: (0,0,0) satisface 0 + 0 + 0 = 0
2. Cerrado bajo suma: Sean u = (x₁,y₁,z₁) y v = (x₂,y₂,z₂) en W, entonces:
$$ (x_1+x_2) + (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = (x_1+y_1+z_1) + (x_2+y_2+z_2) = 0 + 0 = 0 $$
3. Cerrado bajo multiplicación por escalar: Para c ∈ ℝ y u = (x,y,z) ∈ W:
$$ c(x + y + z) = c \cdot 0 = 0 $$
Determinar si los vectores v₁ = (1, 2, 3), v₂ = (4, 5, 6), v₃ = (7, 8, 9) en ℝ³ son linealmente independientes.
Solución:
Planteamos la combinación lineal igualada a cero:
$$ c_1(1,2,3) + c_2(4,5,6) + c_3(7,8,9) = (0,0,0) $$
Esto genera el sistema:
$$
\begin{cases}
c_1 + 4c_2 + 7c_3 = 0 \\
2c_1 + 5c_2 + 8c_3 = 0 \\
3c_1 + 6c_2 + 9c_3 = 0
\end{cases}
$$
Resolviendo, encontramos que hay soluciones no triviales (por ejemplo, c₁=1, c₂=-2, c₃=1), por lo que los vectores son linealmente dependientes.
Encontrar una base y la dimensión del espacio solución del sistema homogéneo:
$$
\begin{cases}
x + 2y – z = 0 \\
2x + 4y – 2z = 0
\end{cases}
$$
Solución:
Las dos ecuaciones son equivalentes (la segunda es múltiplo de la primera), así que tenemos:
$$ x = -2y + z $$
Las soluciones son de la forma (-2y + z, y, z) = y(-2,1,0) + z(1,0,1). Por tanto, una base es {(-2,1,0), (1,0,1)} y la dimensión es 2.
En ℝ⁴ con el producto interno usual, calcular el ángulo entre los vectores u = (1, 0, 1, 0) y v = (0, 1, 0, 1).
Solución:
Primero calculamos el producto interno:
$$ \langle u, v \rangle = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0 $$
Como el producto interno es cero, los vectores son ortogonales y el ángulo entre ellos es 90°.
En ℝ³ con el producto interno usual, encontrar la proyección del vector v = (1, 2, 3) sobre el vector u = (1, 1, 0).
Solución:
La proyección está dada por:
$$ \text{proj}_u v = \frac{\langle v, u \rangle}{\langle u, u \rangle} u $$
Calculamos:
$$ \langle v, u \rangle = 1\cdot1 + 2\cdot1 + 3\cdot0 = 3 $$
$$ \langle u, u \rangle = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 $$
Por tanto:
$$ \text{proj}_u v = \frac{3}{2}(1,1,0) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right) $$
La geometría de espacios vectoriales tiene numerosas aplicaciones en tecnología moderna:
Demuestra que el conjunto de todas las matrices 2×2 con traza cero forma un subespacio vectorial del espacio de todas las matrices 2×2.
Respuesta:
1. La matriz cero tiene traza cero, por lo que pertenece al conjunto.
2. Sean A y B matrices con traza cero. La traza de A+B es tr(A)+tr(B) = 0+0 = 0, por lo que A+B está en el
