Introducción
La probabilidad es la base de la estadística y el análisis de datos. Desde predecir el clima hasta tomar decisiones financieras, entender los conceptos probabilísticos nos permite cuantificar la incertidumbre y hacer inferencias confiables. En este artículo, exploraremos los fundamentos esenciales de la probabilidad, teoremas clave, ejercicios prácticos y aplicaciones en la vida real. Si deseas profundizar en conceptos previos, revisa nuestra introducción a la aritmética.
Conceptos Básicos de Probabilidad
La probabilidad mide la posibilidad de que un evento ocurra, expresada como un valor entre 0 (imposible) y 1 (seguro). Se define como:
$$P(A) = \frac{\text{Número de resultados favorables}}{\text{Número total de resultados posibles}}$$
Ejemplo: Al lanzar un dado justo, la probabilidad de obtener un 3 es $P(3) = \frac{1}{6}$.
Teoremas Fundamentales
Teorema 1: Regla de la Suma
Para dos eventos $A$ y $B$, la probabilidad de que ocurra al menos uno es:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$
Demostración: Contar los elementos en $A \cup B$ requiere sumar $A$ y $B$, pero restar la intersección para evitar duplicados.
Teorema 2: Probabilidad Condicional
La probabilidad de $A$ dado $B$ (si $P(B) > 0$) es:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Demostración: El espacio muestral se reduce a $B$, y solo los casos donde $A$ y $B$ coinciden son relevantes.
Teorema 3: Independencia
Dos eventos son independientes si:
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
Demostración: La ocurrencia de $B$ no afecta a $A$, por lo que $P(A|B) = P(A)$.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Lanzamiento de Moneda
Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras en tres lanzamientos de una moneda justa.
Solución: Hay $\binom{3}{2} = 3$ combinaciones favorables (CXC, XCC, CCX) de $2^3 = 8$ posibles. Así, $P = \frac{3}{8}$.
Ejercicio 2: Urna con Bolas
Una urna tiene 4 bolas rojas y 6 azules. Si se extraen 2 bolas sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?
Solución: $P = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.
Ejercicio 3: Eventos Independientes
Si $P(A) = 0.4$ y $P(B) = 0.3$, y $A$ y $B$ son independientes, halla $P(A \cup B)$.
Solución: Usando la regla de la suma: $P(A \cup B) = 0.4 + 0.3 – (0.4 \times 0.3) = 0.58$.
Ejercicio 4: Probabilidad Condicional
En un grupo, el 30% fuma y el 10% fuma y tiene cáncer. Si se elige un fumador, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cáncer?
Solución: $P(\text{Cáncer}|\text{Fuma}) = \frac{0.10}{0.30} \approx 0.333$.
Ejercicio 5: Teorema de Bayes
Una enfermedad afecta al 1% de la población. Una prueba detecta la enfermedad en el 99% de los casos, pero da falsos positivos en el 5%. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad real de estar enferma?
Solución: Aplicando Bayes: $$P(\text{Enfermo}|+) = \frac{0.01 \times 0.99}{0.01 \times 0.99 + 0.99 \times 0.05} \approx 0.167$$.
Aplicaciones Prácticas
La probabilidad se usa en:
- Finanzas: Evaluar riesgos de inversión.
- Medicina: Analizar eficacia de tratamientos.
- IA: Modelos como redes neuronales usan probabilidad para predicciones.
- Control de calidad: Muestreo estadístico en producción.
Conclusión
Los fundamentos de probabilidad son esenciales para interpretar datos y tomar decisiones bajo incertidumbre. Hemos cubierto teoremas clave como la regla de la suma y Bayes, ejercicios aplicados y usos reales. Continúa tu aprendizaje explorando más sobre distribuciones de probabilidad.
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