Los productos notables son expresiones algebraicas que se presentan con frecuencia en el álgebra y que tienen formas específicas que permiten simplificar su resolución. En este artículo, exploraremos algunos de los productos notables más comunes, resolveremos problemas tipo examen paso a paso y proporcionaremos ejemplos aplicados para reforzar el aprendizaje.
¿Qué son los productos notables?
Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que siguen patrones específicos. Estos patrones permiten resolver las multiplicaciones de manera rápida y eficiente sin necesidad de realizar todo el proceso de multiplicación término por término. Algunos de los productos notables más importantes son:
- Cuadrado de un binomio: \((a + b)^2\) y \((a – b)^2\).
- Producto de binomios conjugados: \((a + b)(a – b)\).
- Producto de dos binomios con un término común: \((x + a)(x + b)\).
Cuadrado de un binomio
El cuadrado de un binomio es uno de los productos notables más utilizados. Se expresa de la siguiente manera:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
Y para el caso de una resta:
\[
(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
\]
Ejemplo resuelto
Problema: Desarrolla \((3x + 4)^2\).
Solución:
Aplicamos la fórmula del cuadrado de un binomio:
\[
(3x + 4)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2
\]
Realizamos las operaciones:
\[
= 9x^2 + 24x + 16
\]
Por lo tanto, \((3x + 4)^2 = 9x^2 + 24x + 16\).
Producto de binomios conjugados
Los binomios conjugados son aquellos que tienen la misma expresión pero con signos opuestos. Su producto se resuelve de la siguiente manera:
\[
(a + b)(a – b) = a^2 – b^2
\]
Ejemplo resuelto
Problema: Desarrolla \((5x + 2)(5x – 2)\).
Solución:
Aplicamos la fórmula del producto de binomios conjugados:
\[
(5x + 2)(5x – 2) = (5x)^2 – (2)^2
\]
Realizamos las operaciones:
\[
= 25x^2 – 4
\]
Por lo tanto, \((5x + 2)(5x – 2) = 25x^2 – 4\).
Producto de dos binomios con un término común
Este tipo de producto notable se presenta cuando dos binomios comparten un término común. Su desarrollo es:
\[
(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab
\]
Ejemplo resuelto
Problema: Desarrolla \((x + 3)(x + 5)\).
Solución:
Aplicamos la fórmula del producto de dos binomios con un término común:
\[
(x + 3)(x + 5) = x^2 + (3 + 5)x + (3 \cdot 5)
\]
Realizamos las operaciones:
\[
= x^2 + 8x + 15
\]
Por lo tanto, \((x + 3)(x + 5) = x^2 + 8x + 15\).
Preguntas tipo examen resueltas
A continuación, se presentan algunas preguntas tipo examen con sus soluciones detalladas.
Pregunta 1
Problema: Desarrolla \((2y – 7)^2\).
Solución:
Aplicamos la fórmula del cuadrado de un binomio:
\[
(2y – 7)^2 = (2y)^2 – 2 \cdot 2y \cdot 7 + 7^2
\]
Realizamos las operaciones:
\[
= 4y^2 – 28y + 49
\]
Por lo tanto, \((2y – 7)^2 = 4y^2 – 28y + 49\).
Pregunta 2
Problema: Desarrolla \((4a + 3b)(4a – 3b)\).
Solución:
Aplicamos la fórmula del producto de binomios conjugados:
\[
(4a + 3b)(4a – 3b) = (4a)^2 – (3b)^2
\]
Realizamos las operaciones:
\[
= 16a^2 – 9b^2
\]
Por lo tanto, \((4a + 3b)(4a – 3b) = 16a^2 – 9b^2\).
Pregunta 3
Problema: Desarrolla \((x + 4)(x + 6)\).
Solución:
Aplicamos la fórmula del producto de dos binomios con un término común:
\[
(x + 4)(x + 6) = x^2 + (4 + 6)x + (4 \cdot 6)
\]
Realizamos las operaciones:
\[
= x^2 + 10x + 24
\]
Por lo tanto, \((x + 4)(x + 6) = x^2 + 10x + 24\).
Conclusión
Los productos notables son herramientas fundamentales en el álgebra que permiten simplificar y resolver expresiones de manera eficiente. Dominar estas fórmulas no solo ahorra tiempo, sino que también facilita la comprensión de conceptos más avanzados. Practicar con ejercicios como los presentados aquí es clave para afianzar estos conocimientos.