Las expresiones algebraicas son una parte fundamental del álgebra y permiten representar relaciones matemáticas mediante el uso de variables, constantes y operaciones. En este artículo, resolveremos un examen típico sobre expresiones algebraicas, explicando cada paso y proporcionando ejemplos prácticos para facilitar la comprensión.
Pregunta 1: Simplificación de Expresiones Algebraicas
Enunciado: Simplifica la siguiente expresión algebraica:
\[ 3x + 5x – 2x + 7 – 4 \]
Solución:
Para simplificar la expresión, combinamos los términos semejantes:
- Sumamos los términos con \( x \): \( 3x + 5x – 2x = 6x \).
- Sumamos los términos constantes: \( 7 – 4 = 3 \).
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
\[ 6x + 3 \]
Pregunta 2: Evaluación de Expresiones Algebraicas
Enunciado: Evalúa la expresión \( 2x^2 – 3x + 4 \) para \( x = 2 \).
Solución:
Sustituimos \( x = 2 \) en la expresión:
\[ 2(2)^2 – 3(2) + 4 \]
Realizamos las operaciones paso a paso:
- Calculamos \( 2^2 = 4 \), luego \( 2 \times 4 = 8 \).
- Calculamos \( 3 \times 2 = 6 \).
- Sumamos los resultados: \( 8 – 6 + 4 = 6 \).
Por lo tanto, el valor de la expresión para \( x = 2 \) es:
\[ 6 \]
Pregunta 3: Factorización de Expresiones Algebraicas
Enunciado: Factoriza la siguiente expresión:
\[ x^2 – 5x + 6 \]
Solución:
Para factorizar la expresión, buscamos dos números que multipliquen a 6 y sumen -5. Estos números son -2 y -3.
Por lo tanto, la expresión factorizada es:
\[ (x – 2)(x – 3) \]
Pregunta 4: Resolución de Ecuaciones Lineales
Enunciado: Resuelve la siguiente ecuación lineal:
\[ 4x – 7 = 2x + 5 \]
Solución:
Para resolver la ecuación, seguimos estos pasos:
- Restamos \( 2x \) a ambos lados: \( 4x – 2x – 7 = 5 \), que simplifica a \( 2x – 7 = 5 \).
- Sumamos 7 a ambos lados: \( 2x = 12 \).
- Dividimos ambos lados por 2: \( x = 6 \).
Por lo tanto, la solución de la ecuación es:
\[ x = 6 \]
Pregunta 5: Operaciones con Polinomios
Enunciado: Realiza la siguiente operación con polinomios:
\[ (3x^2 + 2x – 5) + (x^2 – 4x + 7) \]
Solución:
Para sumar los polinomios, combinamos los términos semejantes:
- Sumamos los términos cuadráticos: \( 3x^2 + x^2 = 4x^2 \).
- Sumamos los términos lineales: \( 2x – 4x = -2x \).
- Sumamos los términos constantes: \( -5 + 7 = 2 \).
Por lo tanto, el resultado de la suma es:
\[ 4x^2 – 2x + 2 \]
Pregunta 6: Despeje de Variables
Enunciado: Despeja \( y \) en la siguiente ecuación:
\[ 2x + 3y = 12 \]
Solución:
Para despejar \( y \), seguimos estos pasos:
- Restamos \( 2x \) a ambos lados: \( 3y = 12 – 2x \).
- Dividimos ambos lados por 3: \( y = \frac{12 – 2x}{3} \).
Por lo tanto, la expresión despejada para \( y \) es:
\[ y = \frac{12 – 2x}{3} \]
Pregunta 7: Resolución de Sistemas de Ecuaciones
Enunciado: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
x – y = 1
\end{cases}
\]
Solución:
Para resolver el sistema, utilizamos el método de sustitución:
- Despejamos \( y \) de la segunda ecuación: \( y = x – 1 \).
- Sustituimos \( y \) en la primera ecuación: \( 2x + (x – 1) = 5 \).
- Simplificamos: \( 3x – 1 = 5 \), luego \( 3x = 6 \) y \( x = 2 \).
- Sustituimos \( x = 2 \) en \( y = x – 1 \): \( y = 1 \).
Por lo tanto, la solución del sistema es:
\[ x = 2, \quad y = 1 \]
Conclusión
Las expresiones algebraicas son herramientas poderosas para resolver problemas matemáticos. A través de la simplificación, evaluación, factorización y resolución de ecuaciones, podemos abordar una amplia variedad de situaciones. Esperamos que este examen resuelto te haya ayudado a comprender mejor estos conceptos y a aplicarlos en tus estudios.