El álgebra es una de las ramas fundamentales de las matemáticas, y dominarla es esencial para avanzar en estudios más avanzados. En este artículo, presentaremos un examen final de álgebra básica con preguntas resueltas paso a paso, explicaciones detalladas y ejemplos aplicados. Cada problema está diseñado para evaluar tu comprensión de conceptos clave como ecuaciones lineales, factorización, sistemas de ecuaciones y más.
Pregunta 1: Resolución de Ecuaciones Lineales
Problema: Resuelve la siguiente ecuación lineal para \( x \):
\[ 3x + 5 = 2x + 10 \]
Solución paso a paso:
- Restamos \( 2x \) de ambos lados de la ecuación para agrupar los términos con \( x \):
\[ 3x – 2x + 5 = 10 \]
\[ x + 5 = 10 \] - Restamos 5 de ambos lados para aislar \( x \):
\[ x = 10 – 5 \]
\[ x = 5 \]
Respuesta final: \( x = 5 \).
Pregunta 2: Factorización de Expresiones Cuadráticas
Problema: Factoriza la siguiente expresión cuadrática:
\[ x^2 + 5x + 6 \]
Solución paso a paso:
- Buscamos dos números que multipliquen a 6 (el término constante) y sumen 5 (el coeficiente de \( x \)):
\[ 2 \times 3 = 6 \]
\[ 2 + 3 = 5 \] - Escribimos la expresión factorizada usando estos números:
\[ (x + 2)(x + 3) \]
Respuesta final: \( (x + 2)(x + 3) \).
Pregunta 3: Resolución de Sistemas de Ecuaciones
Problema: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
x – y = 1
\end{cases}
\]
Solución paso a paso:
- Sumamos las dos ecuaciones para eliminar \( y \):
\[ 2x + y + x – y = 5 + 1 \]
\[ 3x = 6 \] - Resolvemos para \( x \):
\[ x = \frac{6}{3} \]
\[ x = 2 \] - Sustituimos \( x = 2 \) en la segunda ecuación para encontrar \( y \):
\[ 2 – y = 1 \]
\[ -y = 1 – 2 \]
\[ -y = -1 \]
\[ y = 1 \]
Respuesta final: \( x = 2 \), \( y = 1 \).
Pregunta 4: Simplificación de Expresiones Algebraicas
Problema: Simplifica la siguiente expresión:
\[ \frac{2x^2 + 6x}{4x} \]
Solución paso a paso:
- Factorizamos el numerador:
\[ \frac{2x(x + 3)}{4x} \] - Simplificamos los términos comunes:
\[ \frac{2x(x + 3)}{4x} = \frac{2(x + 3)}{4} \] - Reducimos la fracción dividiendo numerador y denominador por 2:
\[ \frac{x + 3}{2} \]
Respuesta final: \( \frac{x + 3}{2} \).
Pregunta 5: Resolución de Ecuaciones Cuadráticas
Problema: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
\[ x^2 – 4x + 4 = 0 \]
Solución paso a paso:
- Reconocemos que la ecuación es un cuadrado perfecto:
\[ (x – 2)^2 = 0 \] - Resolvemos para \( x \):
\[ x – 2 = 0 \]
\[ x = 2 \]
Respuesta final: \( x = 2 \).
Pregunta 6: Aplicación de Álgebra en Problemas de la Vida Real
Problema: Un agricultor tiene un terreno rectangular cuyo largo es el doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es de 120 metros, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?
Solución paso a paso:
- Definimos el ancho como \( x \) y el largo como \( 2x \).
- Escribimos la fórmula del perímetro de un rectángulo:
\[ 2(\text{largo} + \text{ancho}) = 120 \]
\[ 2(2x + x) = 120 \] - Simplificamos y resolvemos para \( x \):
\[ 2(3x) = 120 \]
\[ 6x = 120 \]
\[ x = 20 \] - El ancho es \( 20 \) metros y el largo es \( 40 \) metros.
Respuesta final: El terreno tiene un ancho de 20 metros y un largo de 40 metros.
Este examen cubre una variedad de temas esenciales en álgebra básica. Practicar problemas como estos te ayudará a fortalecer tus habilidades y prepararte para exámenes más avanzados. ¡Sigue practicando y verás cómo mejora tu comprensión!