Examen de ecuaciones lineales resuelto

Las ecuaciones lineales son una de las bases fundamentales del álgebra. En este artículo, resolveremos un examen típico sobre ecuaciones lineales, explicando cada paso y proporcionando ejemplos prácticos para comprender mejor el tema.

¿Qué es una Ecuación Lineal?

Una ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables elevadas a la primera potencia. Su forma general es:

\[ ax + b = 0 \]

Donde \( a \) y \( b \) son constantes, y \( x \) es la variable que queremos resolver. El objetivo es encontrar el valor de \( x \) que satisface la ecuación.

Pregunta 1: Resolver la Ecuación \( 3x + 5 = 14 \)

Solución:

Para resolver la ecuación \( 3x + 5 = 14 \), seguimos estos pasos:

1. Restar 5 a ambos lados: \[ 3x + 5 – 5 = 14 – 5 \] \[ 3x = 9 \]
2. Dividir ambos lados por 3: \[ \frac{3x}{3} = \frac{9}{3} \] \[ x = 3 \]

Por lo tanto, la solución es \( x = 3 \).

Pregunta 2: Resolver la Ecuación \( 2(x – 4) = 10 \)

Solución:

Para resolver la ecuación \( 2(x – 4) = 10 \), seguimos estos pasos:

1. Distribuir el 2: \[ 2x – 8 = 10 \]
2. Sumar 8 a ambos lados: \[ 2x – 8 + 8 = 10 + 8 \] \[ 2x = 18 \]
3. Dividir ambos lados por 2: \[ \frac{2x}{2} = \frac{18}{2} \] \[ x = 9 \]

Por lo tanto, la solución es \( x = 9 \).

Pregunta 3: Resolver la Ecuación \( \frac{x}{3} + 2 = 5 \)

Solución:

Para resolver la ecuación \( \frac{x}{3} + 2 = 5 \), seguimos estos pasos:

1. Restar 2 a ambos lados: \[ \frac{x}{3} + 2 – 2 = 5 – 2 \] \[ \frac{x}{3} = 3 \]
2. Multiplicar ambos lados por 3: \[ 3 \cdot \frac{x}{3} = 3 \cdot 3 \] \[ x = 9 \]

Por lo tanto, la solución es \( x = 9 \).

Pregunta 4: Resolver la Ecuación \( 4x – 7 = 2x + 5 \)

Solución:

Para resolver la ecuación \( 4x – 7 = 2x + 5 \), seguimos estos pasos:

1. Restar \( 2x \) a ambos lados: \[ 4x – 2x – 7 = 2x – 2x + 5 \] \[ 2x – 7 = 5 \]
2. Sumar 7 a ambos lados: \[ 2x – 7 + 7 = 5 + 7 \] \[ 2x = 12 \]
3. Dividir ambos lados por 2: \[ \frac{2x}{2} = \frac{12}{2} \] \[ x = 6 \]

Por lo tanto, la solución es \( x = 6 \).

Pregunta 5: Resolver la Ecuación \( 5(x + 3) – 2x = 21 \)

Solución:

Para resolver la ecuación \( 5(x + 3) – 2x = 21 \), seguimos estos pasos:

1. Distribuir el 5: \[ 5x + 15 – 2x = 21 \]
2. Combinar términos semejantes: \[ 3x + 15 = 21 \]
3. Restar 15 a ambos lados: \[ 3x + 15 – 15 = 21 – 15 \] \[ 3x = 6 \]
4. Dividir ambos lados por 3: \[ \frac{3x}{3} = \frac{6}{3} \] \[ x = 2 \]

Por lo tanto, la solución es \( x = 2 \).

Ejemplo Aplicado: Problema de la Vida Real

Supongamos que tienes $50 y quieres comprar algunos libros que cuestan $8 cada uno. Si también deseas guardar $10 para un regalo, ¿cuántos libros puedes comprar?

Solución:

Sea \( x \) el número de libros que puedes comprar. La ecuación que representa esta situación es:

\[ 8x + 10 = 50 \]

Resolvemos la ecuación paso a paso:

1. Restar 10 a ambos lados: \[ 8x + 10 – 10 = 50 – 10 \] \[ 8x = 40 \]
2. Dividir ambos lados por 8: \[ \frac{8x}{8} = \frac{40}{8} \] \[ x = 5 \]

Por lo tanto, puedes comprar 5 libros.

Conclusión

Las ecuaciones lineales son herramientas poderosas para resolver problemas tanto en matemáticas como en la vida cotidiana. A través de este examen resuelto, hemos visto cómo aplicar métodos sistemáticos para encontrar soluciones a diferentes tipos de ecuaciones lineales. Practicar con ejercicios similares te ayudará a dominar este tema fundamental del álgebra.