Las funciones algebraicas son una parte fundamental del estudio del álgebra y el cálculo. Estas funciones permiten modelar situaciones reales y analizar su comportamiento mediante gráficas. En este artículo, exploraremos un examen típico sobre funciones algebraicas y sus gráficas, resolviendo preguntas paso a paso y proporcionando explicaciones detalladas.
Pregunta 1: Identificación de Funciones
Dada la siguiente función, determina si es lineal, cuadrática o de otro tipo. Luego, encuentra su dominio y rango.
\[ f(x) = 2x^2 + 3x – 5 \]
Solución:
La función \( f(x) = 2x^2 + 3x – 5 \) es una función cuadrática porque su término de mayor grado es \( x^2 \). Las funciones cuadráticas tienen la forma general:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
Donde \( a \), \( b \) y \( c \) son constantes, y \( a \neq 0 \).
Dominio: El dominio de una función cuadrática es todos los números reales, es decir, \( (-\infty, \infty) \).
Rango: Para encontrar el rango, primero determinamos el vértice de la parábola. La coordenada \( x \) del vértice se calcula como:
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} \]
Sustituyendo \( x = -\frac{3}{4} \) en la función para encontrar \( y \):
\[ f\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) – 5 \]
\[ = 2\left(\frac{9}{16}\right) – \frac{9}{4} – 5 \]
\[ = \frac{18}{16} – \frac{36}{16} – \frac{80}{16} \]
\[ = -\frac{98}{16} = -\frac{49}{8} \]
Como \( a = 2 > 0 \), la parábola abre hacia arriba, por lo que el rango es:
\[ \left[-\frac{49}{8}, \infty\right) \]
Pregunta 2: Gráfica de una Función Lineal
Dibuja la gráfica de la función lineal \( f(x) = 3x – 2 \) y encuentra su pendiente e intersección con el eje \( y \).
Solución:
La función \( f(x) = 3x – 2 \) es una función lineal de la forma:
\[ f(x) = mx + b \]
Donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la intersección con el eje \( y \).
Pendiente: \( m = 3 \)
Intersección con el eje \( y \): \( b = -2 \)
Para graficar la función, comenzamos en el punto \( (0, -2) \) y usamos la pendiente para encontrar otro punto. La pendiente \( m = 3 \) indica que por cada unidad que avanzamos en \( x \), subimos 3 unidades en \( y \). Por ejemplo, si \( x = 1 \):
\[ f(1) = 3(1) – 2 = 1 \]
Entonces, el punto \( (1, 1) \) está en la gráfica. Conectamos los puntos \( (0, -2) \) y \( (1, 1) \) para dibujar la línea.
Pregunta 3: Resolución de una Ecuación Cuadrática
Resuelve la ecuación cuadrática \( x^2 – 5x + 6 = 0 \) y encuentra sus raíces.
Solución:
Para resolver la ecuación \( x^2 – 5x + 6 = 0 \), podemos factorizarla:
\[ x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) = 0 \]
Igualamos cada factor a cero:
\[ x – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]
\[ x – 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son \( x = 2 \) y \( x = 3 \).
Pregunta 4: Análisis de una Función Racional
Dada la función racional \( f(x) = \frac{x + 2}{x – 3} \), encuentra su dominio, asíntotas verticales y horizontales.
Solución:
La función \( f(x) = \frac{x + 2}{x – 3} \) es una función racional, que es una fracción donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.
Dominio: El denominador no puede ser cero, por lo que:
\[ x – 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3 \]
Por lo tanto, el dominio es \( (-\infty, 3) \cup (3, \infty) \).
Asíntota Vertical: La asíntota vertical ocurre donde el denominador es cero, es decir, en \( x = 3 \).
Asíntota Horizontal: Para encontrar la asíntota horizontal, comparamos los grados del numerador y el denominador. Ambos tienen grado 1, por lo que la asíntota horizontal es:
\[ y = \frac{\text{coeficiente líder del numerador}}{\text{coeficiente líder del denominador}} = \frac{1}{1} = 1 \]
Pregunta 5: Aplicación de Funciones en un Problema Real
Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. La altura \( h \) en metros después de \( t \) segundos está dada por la función:
\[ h(t) = -5t^2 + 20t \]
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el objeto? b) ¿Cuánto tiempo tarda en regresar al suelo?
Solución:
a) Para encontrar la altura máxima, primero determinamos el vértice de la parábola. La coordenada \( t \) del vértice es:
\[ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2 \text{ segundos} \]
Sustituyendo \( t = 2 \) en la función:
\[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -20 + 40 = 20 \text{ metros} \]
Por lo tanto, la altura máxima es 20 metros.
b) Para encontrar cuándo el objeto regresa al suelo, resolvemos \( h(t) = 0 \):
\[ -5t^2 + 20t = 0 \]
\[ t(-5t + 20) = 0 \]
Las soluciones son \( t = 0 \) (cuando se lanza) y \( t = 4 \) segundos (cuando regresa al suelo).