Introducción
La estadística es una herramienta poderosa que nos ayuda a tomar decisiones basadas en datos, incluso si no somos expertos en matemáticas. En este artículo, exploraremos los conceptos fundamentales de la estadística de manera accesible, con ejemplos prácticos y ejercicios resueltos. Si alguna vez te has preguntado cómo interpretar una encuesta, predecir tendencias o simplemente entender gráficos en los medios, este contenido es para ti. Para profundizar en conceptos básicos, puedes revisar nuestro artículo sobre Introducción a la Aritmética.
1. Medidas de Tendencia Central
Las medidas de tendencia central nos ayudan a resumir un conjunto de datos con un solo valor representativo. Las más comunes son:
Ejemplo: Calificaciones de Estudiantes
Supongamos que tenemos las calificaciones de 5 estudiantes: 70, 75, 80, 85, 90.
- Media: $\frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80$
- Mediana: El valor central es 80.
- Moda: No hay moda, ya que todos los valores son únicos.
2. Medidas de Dispersión
Estas medidas indican cuánto se alejan los datos del valor central. Las principales son:
Teorema 1: Varianza de una Muestra
La varianza muestral $s^2$ se define como:
$$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2 $$
Demostración: La varianza mide la distancia cuadrática promedio de cada punto respecto a la media. El denominador $n-1$ corrige el sesgo en muestras pequeñas (corrección de Bessel).
Ejemplo: Cálculo de Varianza
Usando las calificaciones anteriores (70, 75, 80, 85, 90) con media $\bar{x} = 80$:
$$ s^2 = \frac{(70-80)^2 + (75-80)^2 + (80-80)^2 + (85-80)^2 + (90-80)^2}{4} = \frac{250}{4} = 62.5 $$
3. Distribución Normal
La distribución normal es fundamental en estadística. Su función de densidad es:
$$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x – \mu}{\sigma} \right)^2} $$
Teorema 2: Regla 68-95-99.7
En una distribución normal:
- 68% de los datos están dentro de $\mu \pm \sigma$
- 95% dentro de $\mu \pm 2\sigma$
- 99.7% dentro de $\mu \pm 3\sigma$
4. Correlación y Regresión
La correlación mide la relación lineal entre dos variables. El coeficiente de Pearson $r$ varía entre -1 y 1.
Teorema 3: Fórmula de Pearson
$$ r = \frac{n(\sum xy) – (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n \sum x^2 – (\sum x)^2][n \sum y^2 – (\sum y)^2]}}} $$
Demostración: Esta fórmula estandariza la covarianza dividiéndola por el producto de las desviaciones estándar de $x$ e $y$.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Calcular Media y Mediana
Enunciado: Calcula la media y mediana de: 12, 15, 18, 22, 24.
Solución:
Media: $\frac{12+15+18+22+24}{5} = \frac{91}{5} = 18.2$
Mediana: 18 (valor central)
Ejercicio 2: Probabilidad Normal
Enunciado: Si $X \sim N(100, 15^2)$, calcula $P(X > 130)$.
Solución:
Convertimos a Z: $Z = \frac{130-100}{15} = 2$
$P(Z > 2) = 1 – 0.9772 = 0.0228$ (2.28%)
Aplicaciones Prácticas
La estadística se aplica en:
- Medicina: Ensayos clínicos de fármacos.
- Negocios: Pronósticos de ventas.
- Ciencias Sociales: Análisis de encuestas electorales.
Para más aplicaciones, visita nuestro artículo sobre Aplicaciones de la Estadística.
Conclusión
Hemos explorado conceptos esenciales como medidas de tendencia central, dispersión, distribución normal y correlación. Estos fundamentos permiten interpretar datos y tomar decisiones informadas. La estadística no requiere ser experto, sino comprender sus principios básicos. ¡Sigue practicando con los ejercicios!
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