Introducción
En las ciencias sociales, la estadística es una herramienta fundamental para entender patrones, relaciones y tendencias en el comportamiento humano. Desde encuestas políticas hasta estudios de mercado, los métodos cuantitativos permiten transformar datos en conocimiento accionable. Este artículo explora técnicas clave, teoremas fundamentales y ejercicios prácticos para aplicar la estadística en contextos sociales. Si deseas profundizar en conceptos básicos, revisa nuestra introducción a la aritmética.
Medidas de Tendencia Central
Las medidas de tendencia central resumen conjuntos de datos con un único valor representativo. Las principales son:
- Media: $\mu = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
- Mediana: Valor central en un conjunto ordenado.
- Moda: Valor más frecuente.
Ejemplo 1: Encuesta de Satisfacción
En una encuesta con puntajes [3, 5, 5, 7, 8]:
- Media: $(3 + 5 + 5 + 7 + 8)/5 = 5.6$
- Mediana: 5 (tercer valor)
- Moda: 5 (aparece dos veces)
Teorema del Límite Central
Teorema 1: Teorema del Límite Central
Dada una población con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, la distribución de las medias muestrales $\bar{X}$ se aproxima a una normal $N(\mu, \sigma^2/n)$ conforme $n \to \infty$, independientemente de la forma de la población original.
Demostración (Esquema)
Usando funciones características, se muestra que la función característica de $\sqrt{n}(\bar{X} – \mu)/\sigma$ converge a la de una normal estándar.
Regresión Lineal
Modela la relación entre una variable dependiente $Y$ y una o más independientes $X$ mediante:
$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$$
Ejemplo 2: Predicción de Ingresos
Para datos de años de educación ($X$) e ingresos ($Y$), la regresión podría ser $Y = 15,000 + 2,500X$.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Cálculo de Media y Varianza
Problema: Calcula la media y varianza de [2, 4, 6, 8].
Solución:
Media: $\mu = \frac{2+4+6+8}{4} = 5$
Varianza: $\sigma^2 = \frac{(2-5)^2 + \cdots + (8-5)^2}{4} = 5$
Ejercicio 2: Intervalo de Confianza
Problema: Con $\bar{X} = 50$, $n=100$, $\sigma=10$, calcula un IC del 95%.
Solución:
$$50 \pm 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{100}} = [48.04, 51.96]$$
Aplicaciones Prácticas
La estadística se aplica en:
- Encuestas electorales (estimación de proporciones).
- Estudios de mercado (análisis de regresión).
- Políticas públicas (pruebas de hipótesis).
Para más sobre análisis de datos, visita análisis de datos básico.
Conclusión
Los métodos cuantitativos en ciencias sociales permiten tomar decisiones basadas en evidencia. Desde medidas descriptivas hasta modelos predictivos, la estadística es indispensable. Este artículo cubrió conceptos clave, teoremas y ejercicios para fortalecer tu comprensión.
«`