Introducción
En un mundo cada vez más competitivo, la industria busca constantemente mejorar sus procesos para maximizar la eficiencia y minimizar costos. La estadística se ha convertido en una herramienta indispensable para lograr estos objetivos, permitiendo a las empresas tomar decisiones basadas en datos. Desde el control de calidad hasta la optimización de recursos, las técnicas estadísticas ofrecen soluciones robustas y confiables. En este artículo, exploraremos cómo la estadística transforma la industria, con ejemplos prácticos, teoremas fundamentales y ejercicios resueltos.
Control Estadístico de Procesos (CEP)
El CEP es una metodología que utiliza gráficos de control para monitorear la estabilidad de un proceso. Un ejemplo clásico es el gráfico de Shewhart, que ayuda a detectar variaciones anormales en la producción.
Ejemplo: Gráfico de Control para el Diámetro de Pernos
Una fábrica produce pernos con un diámetro nominal de $10 \text{ mm}$. Se toman muestras de 5 pernos cada hora y se registran las mediciones. El gráfico de control muestra que la media ($\bar{X}$) es $10.02 \text{ mm}$ y la desviación estándar ($\sigma$) es $0.05 \text{ mm}$. Los límites de control se calculan como:
$$ \text{LCS} = \bar{X} + 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10.02 + 3\frac{0.05}{\sqrt{5}} \approx 10.09 \text{ mm} $$
$$ \text{LCI} = \bar{X} – 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10.02 – 3\frac{0.05}{\sqrt{5}} \approx 9.95 \text{ mm} $$
Si una muestra cae fuera de estos límites, el proceso requiere ajustes.
Diseño de Experimentos (DoE)
El DoE permite estudiar el efecto de múltiples variables en un proceso. Una técnica común es el diseño factorial, que evalúa todas las combinaciones posibles de factores.
Teorema 1: Principio de Ortogonalidad en DoE
Enunciado: En un diseño factorial $2^k$, los efectos principales e interacciones son ortogonales, lo que permite estimarlos independientemente.
Demostración: Considere un diseño $2^2$ con factores $A$ y $B$. La matriz de diseño es:
| Ensayo | A | B | AB |
|---|---|---|---|
| 1 | -1 | -1 | +1 |
| 2 | +1 | -1 | -1 |
| 3 | -1 | +1 | -1 |
| 4 | +1 | +1 | +1 |
El producto interno de las columnas $A$ y $AB$ es $(-1)(+1) + (+1)(-1) + (-1)(-1) + (+1)(+1) = 0$, demostrando ortogonalidad.
Regresión Lineal para Optimización
La regresión lineal modela la relación entre una variable dependiente y una o más independientes. En industria, se usa para predecir resultados y optimizar procesos.
Ejercicio 1: Modelo de Regresión para Rendimiento
Problema: Se quiere predecir el rendimiento ($Y$) de un químico en función de la temperatura ($X$). Los datos son:
| X (°C) | Y (%) |
|---|---|
| 50 | 65 |
| 60 | 70 |
| 70 | 80 |
| 80 | 85 |
Solución:
- Calcular medias: $\bar{X} = 65$, $\bar{Y} = 75$.
- Calcular pendiente ($b_1$) e intercepto ($b_0$):
$$ b_1 = \frac{\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum (X_i – \bar{X})^2} = \frac{300}{500} = 0.6 $$
$$ b_0 = \bar{Y} – b_1\bar{X} = 75 – 0.6 \times 65 = 36 $$ - Modelo final: $\hat{Y} = 36 + 0.6X$.
Teorema del Límite Central en Control de Calidad
Teorema 2: Teorema del Límite Central (TLC)
Enunciado: Dada una población con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ se aproxima a una normal $N(\mu, \sigma^2/n)$ para $n$ grande.
Demostración (bosquejo): Usando funciones características, la F.C. de $\bar{X}$ es:
$$ \phi_{\bar{X}}(t) = \left[\phi_X\left(\frac{t}{n}\right)\right]^n \approx \left[1 + \frac{it\mu}{n} – \frac{t^2\sigma^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right]^n $$
Que converge a $e^{it\mu – t^2\sigma^2/2}$, la F.C. de $N(\mu, \sigma^2/n)$.
Aplicaciones Prácticas
- Reducción de defectos: En control de calidad estadístico, el CEP reduce defectos en un 30%.
- Ahorro de energía: Modelos de regresión optimizan el consumo en plantas.
- Predicción de demanda: Series temporales mejoran la gestión de inventarios.
Conclusión
La estadística es clave en la industria moderna. Desde el TLC hasta el DoE, estas herramientas permiten optimizar procesos, reducir costos y mejorar calidad. Los ejercicios y teoremas presentados ilustran su poder práctico y teórico. Adoptar estas metodologías es esencial para cualquier empresa que busque la excelencia operativa.
Ejercicios Adicionales
Ejercicio 2: Cálculo de Límites de Control
Para un proceso con $\bar{\bar{X}} = 50$ y $\bar{R} = 5$ (n=4), calcule los límites de control.
Solución: Usando constantes $A_2 = 0.729$:
$$ \text{LCS} = 50 + 0.729 \times 5 \approx 53.65 $$
$$ \text{LCI} = 50 – 0.729 \times 5 \approx 46.35 $$
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