Introducción
La estadística es una herramienta fundamental en la economía moderna. Desde la predicción de tendencias del mercado hasta la evaluación de políticas públicas, los modelos estadísticos permiten tomar decisiones basadas en datos. En este artículo, exploraremos cómo la estadística se aplica en economía, presentando modelos clave, teoremas fundamentales y ejercicios prácticos. Si deseas profundizar en conceptos básicos, puedes consultar nuestro artículo sobre Introducción a la Aritmética.
Modelos de Regresión Lineal
Uno de los modelos más utilizados en economía es la regresión lineal, que busca explicar la relación entre una variable dependiente $Y$ y una o más variables independientes $X$. El modelo básico se expresa como:
Donde $\beta_0$ es el intercepto, $\beta_1$ la pendiente y $\epsilon$ el término de error.
Ejemplo: Supongamos que queremos modelar la relación entre el PIB ($Y$) y la inversión en educación ($X$). Utilizando datos históricos, estimamos $\beta_0 = 2.5$ y $\beta_1 = 0.8$, lo que sugiere que por cada unidad adicional de inversión en educación, el PIB aumenta en 0.8 unidades.
Teorema de Gauss-Markov
Teorema de Gauss-Markov
Bajo los supuestos del modelo de regresión lineal clásico (errores con media cero, homocedasticidad y no autocorrelación), los estimadores MCO (Mínimos Cuadrados Ordinarios) son los mejores estimadores lineales insesgados (BLUE).
Demostración: Sea $\hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T Y$ el estimador MCO. Se demuestra que:
- Es insesgado: $E[\hat{\beta}] = \beta$.
- Tiene varianza mínima: $\text{Var}(\hat{\beta}) \leq \text{Var}(\tilde{\beta})$ para cualquier otro estimador lineal insesgado $\tilde{\beta}$.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Estimación de Parámetros
Dados los siguientes pares $(X, Y)$: (1, 3), (2, 5), (3, 7), estima $\beta_0$ y $\beta_1$ usando MCO.
Solución:
- Calculamos las medias: $\bar{X} = 2$, $\bar{Y} = 5$.
- Calculamos las covarianzas: $\text{Cov}(X,Y) = 2$, $\text{Var}(X) = 1$.
- Obtenemos $\beta_1 = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)} = 2$.
- Obtenemos $\beta_0 = \bar{Y} – \beta_1 \bar{X} = 1$.
Modelos de Series Temporales
En economía, muchas variables se estudian a lo largo del tiempo. Un modelo común es el AR(1) (Autorregresivo de orden 1):
Ejemplo: Modelar la inflación mensual usando valores pasados. Si $\phi = 0.9$, indica una alta persistencia en la inflación.
Teorema del Límite Central
Teorema del Límite Central
Dada una muestra aleatoria $X_1, X_2, …, X_n$ con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ se aproxima a una normal $N(\mu, \sigma^2/n)$ cuando $n \to \infty$.
Demostración (esquema): Usando funciones características, se muestra que la función característica de $\sqrt{n}(\bar{X} – \mu)$ converge a la de una normal estándar.
Aplicaciones Prácticas
La estadística económica se aplica en:
- Predicción de crisis financieras.
- Evaluación de impacto de políticas públicas.
- Optimización de portafolios de inversión. Para más detalles, visita nuestro artículo sobre Modelos Financieros.
Conclusión
En este artículo hemos explorado modelos estadísticos clave en economía, desde regresión lineal hasta series temporales. Los teoremas presentados, como Gauss-Markov y el Teorema del Límite Central, proporcionan fundamentos teóricos sólidos. Los ejercicios resueltos ilustran su aplicación práctica. La estadística sigue siendo una herramienta indispensable para el análisis económico moderno.
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