Los sistemas de ecuaciones son una herramienta fundamental en el álgebra, y su dominio es esencial para resolver problemas tanto teóricos como aplicados. En este artículo, exploraremos ejercicios típicos que podrían aparecer en un examen, con soluciones detalladas paso a paso. Además, incluiremos ejemplos prácticos para reforzar el aprendizaje.
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. El objetivo es encontrar los valores de las variables que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Los sistemas pueden ser lineales o no lineales, pero en este artículo nos enfocaremos en los sistemas lineales, que son los más comunes en exámenes de nivel básico e intermedio.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, entre los cuales destacan:
- Método de sustitución: Consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituirla en la otra.
- Método de igualación: Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes.
- Método de reducción (o eliminación): Se suman o restan las ecuaciones para eliminar una variable y resolver el sistema.
- Método de matrices (Regla de Cramer): Utiliza determinantes para resolver el sistema.
Ejercicios resueltos paso a paso
Ejercicio 1: Método de sustitución
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
3x – 2y = 4
\end{cases}
\]
Solución:
- Despejamos \( y \) de la primera ecuación:
\[
y = 5 – 2x
\] - Sustituimos \( y \) en la segunda ecuación:
\[
3x – 2(5 – 2x) = 4
\] - Resolvemos la ecuación:
\[
3x – 10 + 4x = 4 \\
7x – 10 = 4 \\
7x = 14 \\
x = 2
\] - Sustituimos \( x = 2 \) en la expresión de \( y \):
\[
y = 5 – 2(2) = 1
\] - La solución del sistema es:
\[
x = 2, \quad y = 1
\]
Ejercicio 2: Método de igualación
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 8 \\
3x – y = 7
\end{cases}
\]
Solución:
- Despejamos \( x \) de ambas ecuaciones:
\[
\text{De la primera ecuación: } x = 8 – 2y \\
\text{De la segunda ecuación: } x = \frac{7 + y}{3}
\] - Igualamos las expresiones:
\[
8 – 2y = \frac{7 + y}{3}
\] - Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar el denominador:
\[
24 – 6y = 7 + y
\] - Resolvemos la ecuación:
\[
24 – 7 = 6y + y \\
17 = 7y \\
y = \frac{17}{7}
\] - Sustituimos \( y = \frac{17}{7} \) en la expresión de \( x \):
\[
x = 8 – 2\left(\frac{17}{7}\right) = 8 – \frac{34}{7} = \frac{56}{7} – \frac{34}{7} = \frac{22}{7}
\] - La solución del sistema es:
\[
x = \frac{22}{7}, \quad y = \frac{17}{7}
\]
Ejercicio 3: Método de reducción
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
4x + 3y = 10 \\
2x – y = 4
\end{cases}
\]
Solución:
- Multiplicamos la segunda ecuación por 3 para igualar los coeficientes de \( y \):
\[
\begin{cases}
4x + 3y = 10 \\
6x – 3y = 12
\end{cases}
\] - Sumamos ambas ecuaciones para eliminar \( y \):
\[
4x + 3y + 6x – 3y = 10 + 12 \\
10x = 22 \\
x = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}
\] - Sustituimos \( x = \frac{11}{5} \) en la segunda ecuación original:
\[
2\left(\frac{11}{5}\right) – y = 4 \\
\frac{22}{5} – y = 4 \\
y = \frac{22}{5} – 4 = \frac{22}{5} – \frac{20}{5} = \frac{2}{5}
\] - La solución del sistema es:
\[
x = \frac{11}{5}, \quad y = \frac{2}{5}
\]
Ejemplo aplicado
Supongamos que tienes un negocio en el que vendes dos tipos de productos: A y B. Sabes que:
- El producto A tiene un precio de \$10 por unidad.
- El producto B tiene un precio de \$15 por unidad.
- En un día, vendiste un total de 50 unidades y obtuviste \$600 en ingresos.
¿Cuántas unidades de cada producto vendiste?
Solución:
Definimos:
- \( x \): Número de unidades vendidas del producto A.
- \( y \): Número de unidades vendidas del producto B.
El sistema de ecuaciones es:
\[
\begin{cases}
x + y = 50 \\
10x + 15y = 600
\end{cases}
\]
Resolvemos el sistema usando el método de sustitución:
- Despejamos \( x \) de la primera ecuación:
\[
x = 50 – y
\] - Sustituimos \( x \) en la segunda ecuación:
\[
10(50 – y) + 15y = 600 \\
500 – 10y + 15y = 600 \\
500 + 5y = 600 \\
5y = 100 \\
y = 20
\] - Sustituimos \( y = 20 \) en la expresión de \( x \):
\[
x = 50 – 20 = 30
\] - La solución es:
\[
x = 30, \quad y = 20
\]
Por lo tanto, vendiste 30 unidades del producto A y 20 unidades del producto B.
Conclusión
Resolver sistemas de ecuaciones es una habilidad esencial en matemáticas, y su aplicación se extiende a problemas del mundo real. Con práctica y comprensión de los métodos, podrás enfrentarte a cualquier ejercicio en un examen con confianza. ¡Sigue practicando!