La estadística descriptiva es una herramienta fundamental para resumir y analizar datos. En este artículo, te presentamos ejercicios típicos que podrías encontrar en un examen, junto con sus soluciones detalladas. Estos ejercicios te ayudarán a comprender conceptos clave como la media, la mediana, la moda, la varianza y la desviación estándar.
Ejercicio 1: Cálculo de la Media Aritmética
Enunciado: Calcula la media aritmética de los siguientes datos: 5, 7, 8, 10, 12.
Solución: La media aritmética se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número de datos. Matemáticamente, se expresa como:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Donde \( \bar{x} \) es la media, \( x_i \) son los valores individuales y \( n \) es el número de datos. Aplicando la fórmula:
\[
\bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{42}{5} = 8.4
\]
Por lo tanto, la media aritmética es 8.4.
Ejercicio 2: Cálculo de la Mediana
Enunciado: Encuentra la mediana del siguiente conjunto de datos: 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Solución: La mediana es el valor central de un conjunto de datos ordenados. Si el número de datos es par, la mediana es el promedio de los dos valores centrales. En este caso, tenemos 6 datos, por lo que:
\[
\text{Mediana} = \frac{7 + 9}{2} = 8
\]
Por lo tanto, la mediana es 8.
Ejercicio 3: Cálculo de la Moda
Enunciado: Determina la moda del siguiente conjunto de datos: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8.
Solución: La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. En este caso, el número 7 aparece tres veces, más que cualquier otro número. Por lo tanto, la moda es 7.
Ejercicio 4: Cálculo de la Varianza y la Desviación Estándar
Enunciado: Calcula la varianza y la desviación estándar del siguiente conjunto de datos: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
Solución: Primero, calculamos la media aritmética:
\[
\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5
\]
Luego, calculamos la varianza, que es el promedio de las diferencias al cuadrado respecto a la media:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n}
\]
Aplicando la fórmula:
\[
\sigma^2 = \frac{(2-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{8}
\]
\[
\sigma^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8} = \frac{32}{8} = 4
\]
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
\[
\sigma = \sqrt{4} = 2
\]
Por lo tanto, la varianza es 4 y la desviación estándar es 2.
Ejercicio 5: Interpretación de un Histograma
Enunciado: Dado el siguiente histograma, interpreta la distribución de los datos.
Solución: El histograma muestra la frecuencia de los datos en intervalos. En este caso, la distribución es asimétrica hacia la derecha, lo que indica que hay más datos concentrados en los valores bajos. La moda se encuentra en el primer intervalo, y la media será mayor que la mediana debido a la asimetría.
Conclusión
Estos ejercicios resueltos te ayudarán a prepararte para exámenes de estadística descriptiva. Recuerda practicar con diferentes conjuntos de datos y familiarizarte con las fórmulas y conceptos clave. ¡Buena suerte en tus estudios!