Ejercicios de álgebra con fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas son expresiones que contienen polinomios en el numerador y/o en el denominador. Trabajar con ellas requiere un buen manejo de las operaciones básicas del álgebra, como la simplificación, suma, resta, multiplicación y división de polinomios. En este artículo, exploraremos ejercicios prácticos con fracciones algebraicas, explicados paso a paso, para ayudarte a dominar este tema.

Simplificación de Fracciones Algebraicas

Simplificar una fracción algebraica consiste en reducirla a su forma más simple. Para ello, factorizamos tanto el numerador como el denominador y cancelamos los factores comunes. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 1: Simplifica la fracción algebraica \(\frac{x^2 – 4}{x^2 – 2x}\).

Solución:

1. Factorizamos el numerador y el denominador:
   \[
   \frac{x^2 – 4}{x^2 – 2x} = \frac{(x + 2)(x – 2)}{x(x – 2)}
   \]
2. Cancelamos el factor común \((x – 2)\):
   \[
   \frac{(x + 2)\cancel{(x – 2)}}{x\cancel{(x – 2)}} = \frac{x + 2}{x}
   \]

Por lo tanto, la fracción simplificada es \(\frac{x + 2}{x}\).

Suma y Resta de Fracciones Algebraicas

Para sumar o restar fracciones algebraicas, es necesario encontrar un denominador común. Luego, se suman o restan los numeradores y se simplifica el resultado. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 2: Resuelve \(\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x – 1}\).

Solución:

1. Encontramos el denominador común, que es \((x + 1)(x – 1)\):
   \[
   \frac{3}{x + 1} \cdot \frac{x – 1}{x – 1} + \frac{2}{x – 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}
   \]
2. Realizamos las multiplicaciones:
   \[
   \frac{3(x – 1)}{(x + 1)(x – 1)} + \frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x – 1)}
   \]
3. Sumamos los numeradores:
   \[
   \frac{3(x – 1) + 2(x + 1)}{(x + 1)(x – 1)}
   \]
4. Simplificamos el numerador:
   \[
   \frac{3x – 3 + 2x + 2}{(x + 1)(x – 1)} = \frac{5x – 1}{(x + 1)(x – 1)}
   \]

La expresión final es \(\frac{5x – 1}{(x + 1)(x – 1)}\).

Multiplicación de Fracciones Algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Luego, simplificamos el resultado. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3: Resuelve \(\frac{x^2 – 9}{x^2 – 4} \cdot \frac{x + 2}{x – 3}\).

Solución:

1. Multiplicamos numeradores y denominadores:
   \[
   \frac{(x^2 – 9)(x + 2)}{(x^2 – 4)(x – 3)}
   \]
2. Factorizamos los polinomios:
   \[
   \frac{(x + 3)(x – 3)(x + 2)}{(x + 2)(x – 2)(x – 3)}
   \]
3. Cancelamos los factores comunes \((x + 2)\) y \((x – 3)\):
   \[
   \frac{(x + 3)\cancel{(x – 3)}\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x + 2)}(x – 2)\cancel{(x – 3)}} = \frac{x + 3}{x – 2}
   \]

La expresión simplificada es \(\frac{x + 3}{x – 2}\).

División de Fracciones Algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas, invertimos la segunda fracción y luego multiplicamos. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 4: Resuelve \(\frac{x^2 – 1}{x^2 + 2x + 1} \div \frac{x – 1}{x + 1}\).

Solución:

1. Invertimos la segunda fracción:
   \[
   \frac{x^2 – 1}{x^2 + 2x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x – 1}
   \]
2. Multiplicamos numeradores y denominadores:
   \[
   \frac{(x^2 – 1)(x + 1)}{(x^2 + 2x + 1)(x – 1)}
   \]
3. Factorizamos los polinomios:
   \[
   \frac{(x + 1)(x – 1)(x + 1)}{(x + 1)^2(x – 1)}
   \]
4. Cancelamos los factores comunes \((x + 1)\) y \((x – 1)\):
   \[
   \frac{\cancel{(x + 1)}\cancel{(x – 1)}(x + 1)}{(x + 1)^{\cancel{2}}\cancel{(x – 1)}} = \frac{x + 1}{x + 1} = 1
   \]

El resultado final es \(1\).

Ejercicios Propuestos

Ahora que has visto algunos ejemplos resueltos, intenta resolver los siguientes ejercicios:

1. Simplifica \(\frac{x^2 – 5x + 6}{x^2 – 9}\).
2. Resuelve \(\frac{4}{x – 2} – \frac{3}{x + 2}\).
3. Multiplica \(\frac{x^2 – 16}{x^2 – 4x} \cdot \frac{x}{x + 4}\).
4. Divide \(\frac{x^2 – 4}{x^2 – 1} \div \frac{x + 2}{x – 1}\).

Recuerda practicar estos ejercicios para afianzar tus conocimientos en fracciones algebraicas. ¡Buena suerte!