En este artículo, resolveremos paso a paso un examen típico sobre múltiplos y divisores, un tema fundamental en aritmética. Aprenderemos a identificar múltiplos, calcular divisores, y aplicar conceptos como el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (MCD). Cada pregunta incluye una explicación detallada y ejemplos prácticos para facilitar la comprensión.
Pregunta 1: Identificación de múltiplos
Enunciado: Determina si 84 es múltiplo de 12.
Solución: Para verificar si 84 es múltiplo de 12, dividimos 84 entre 12:
\[
84 \div 12 = 7
\]
Como el resultado es un número entero (7), concluimos que 84 es múltiplo de 12.
Pregunta 2: Cálculo de divisores
Enunciado: Encuentra todos los divisores de 36.
Solución: Para hallar los divisores de 36, buscamos todos los números enteros que dividen a 36 sin dejar residuo. Estos son:
- 1, porque \(36 \div 1 = 36\)
- 2, porque \(36 \div 2 = 18\)
- 3, porque \(36 \div 3 = 12\)
- 4, porque \(36 \div 4 = 9\)
- 6, porque \(36 \div 6 = 6\)
- 9, porque \(36 \div 9 = 4\)
- 12, porque \(36 \div 12 = 3\)
- 18, porque \(36 \div 18 = 2\)
- 36, porque \(36 \div 36 = 1\)
Por lo tanto, los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
Pregunta 3: Mínimo común múltiplo (mcm)
Enunciado: Calcula el mcm de 15 y 20.
Solución: Para encontrar el mcm de 15 y 20, seguimos estos pasos:
- Descomponemos ambos números en factores primos:
- 15 = \(3 \times 5\)
- 20 = \(2^2 \times 5\)
- Tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente:
- \(2^2\) (de 20)
- \(3\) (de 15)
- \(5\) (común en ambos)
- Multiplicamos estos factores: \(2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60\).
Por lo tanto, el mcm de 15 y 20 es 60.
Pregunta 4: Máximo común divisor (MCD)
Enunciado: Calcula el MCD de 48 y 60.
Solución: Para hallar el MCD de 48 y 60, seguimos estos pasos:
- Descomponemos ambos números en factores primos:
- 48 = \(2^4 \times 3\)
- 60 = \(2^2 \times 3 \times 5\)
- Tomamos los factores comunes con su menor exponente:
- \(2^2\) (común en ambos)
- \(3\) (común en ambos)
- Multiplicamos estos factores: \(2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12\).
Por lo tanto, el MCD de 48 y 60 es 12.
Pregunta 5: Aplicación práctica
Enunciado: Dos autobuses salen de la misma estación. El primero sale cada 18 minutos y el segundo cada 24 minutos. ¿Después de cuántos minutos coincidirán nuevamente en la estación?
Solución: Para resolver este problema, calculamos el mcm de 18 y 24, que representa el tiempo en el que ambos autobuses coincidirán nuevamente.
- Descomponemos ambos números en factores primos:
- 18 = \(2 \times 3^2\)
- 24 = \(2^3 \times 3\)
- Tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente:
- \(2^3\) (de 24)
- \(3^2\) (de 18)
- Multiplicamos estos factores: \(2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\).
Por lo tanto, los autobuses coincidirán nuevamente después de 72 minutos.
Conclusión
Resolver problemas de múltiplos y divisores requiere comprender conceptos clave como la descomposición en factores primos, el cálculo del mcm y el MCD. Con práctica y atención a los detalles, estos problemas se vuelven más sencillos. ¡Sigue practicando para dominar este tema!