La estadística bayesiana es una rama de la estadística que utiliza el teorema de Bayes para actualizar las probabilidades de las hipótesis a medida que se obtiene nueva evidencia. Este enfoque es fundamental en muchos campos, como la medicina, la economía y la inteligencia artificial. A continuación, presentamos un ejercicio resuelto que podría aparecer en un examen de estadística, junto con una explicación detallada.
Enunciado del Problema
Supongamos que en una clínica se realiza una prueba para detectar una enfermedad rara. La prevalencia de la enfermedad en la población es del 1%. La prueba tiene una sensibilidad del 95% (es decir, la probabilidad de que la prueba sea positiva dado que el paciente tiene la enfermedad es del 95%) y una especificidad del 90% (la probabilidad de que la prueba sea negativa dado que el paciente no tiene la enfermedad es del 90%).
Si un paciente obtiene un resultado positivo en la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad?
Solución Paso a Paso
Para resolver este problema, utilizaremos el teorema de Bayes. El teorema de Bayes se expresa de la siguiente manera:
\[
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
\]
Donde:
- \( P(A|B) \) es la probabilidad de que el evento \( A \) ocurra dado que \( B \) ha ocurrido.
- \( P(B|A) \) es la probabilidad de que el evento \( B \) ocurra dado que \( A \) ha ocurrido.
- \( P(A) \) y \( P(B) \) son las probabilidades de los eventos \( A \) y \( B \) respectivamente.
Paso 1: Definir los Eventos
Definimos los eventos relevantes:
- \( D \): El paciente tiene la enfermedad.
- \( \neg D \): El paciente no tiene la enfermedad.
- \( T^+ \): La prueba es positiva.
- \( T^- \): La prueba es negativa.
Paso 2: Asignar las Probabilidades Conocidas
De acuerdo con el enunciado:
- \( P(D) = 0.01 \) (prevalencia de la enfermedad).
- \( P(T^+|D) = 0.95 \) (sensibilidad de la prueba).
- \( P(T^-|\neg D) = 0.90 \) (especificidad de la prueba).
Paso 3: Calcular \( P(T^+) \)
Para aplicar el teorema de Bayes, necesitamos calcular \( P(T^+) \), la probabilidad de que la prueba sea positiva. Esto se puede hacer utilizando la ley de la probabilidad total:
\[
P(T^+) = P(T^+|D) \cdot P(D) + P(T^+|\neg D) \cdot P(\neg D)
\]
Sabemos que \( P(\neg D) = 1 – P(D) = 0.99 \). Además, \( P(T^+|\neg D) = 1 – P(T^-|\neg D) = 0.10 \). Sustituyendo estos valores:
\[
P(T^+) = (0.95 \cdot 0.01) + (0.10 \cdot 0.99) = 0.0095 + 0.099 = 0.1085
\]
Paso 4: Aplicar el Teorema de Bayes
Ahora, aplicamos el teorema de Bayes para encontrar \( P(D|T^+) \):
\[
P(D|T^+) = \frac{P(T^+|D) \cdot P(D)}{P(T^+)} = \frac{0.95 \cdot 0.01}{0.1085} \approx 0.0876
\]
Por lo tanto, la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad dado que la prueba es positiva es aproximadamente del 8.76%.
Interpretación del Resultado
Aunque la prueba tiene una alta sensibilidad y especificidad, la baja prevalencia de la enfermedad en la población hace que la probabilidad de que un paciente realmente tenga la enfermedad después de un resultado positivo sea relativamente baja. Este es un ejemplo clásico de cómo la estadística bayesiana puede ayudarnos a tomar decisiones más informadas en contextos de incertidumbre.
Preguntas de Examen Resueltas
Pregunta 1
Si la prevalencia de la enfermedad aumenta al 5%, ¿cuál sería la nueva probabilidad de que un paciente tenga la enfermedad dado un resultado positivo en la prueba?
Solución:
Siguiendo los mismos pasos que antes, pero con \( P(D) = 0.05 \):
\[
P(T^+) = (0.95 \cdot 0.05) + (0.10 \cdot 0.95) = 0.0475 + 0.095 = 0.1425
\]
\[
P(D|T^+) = \frac{0.95 \cdot 0.05}{0.1425} \approx 0.3333
\]
La probabilidad aumenta al 33.33%.
Pregunta 2
Si la especificidad de la prueba aumenta al 95%, ¿cómo afecta esto a la probabilidad de que un paciente tenga la enfermedad dado un resultado positivo?
Solución:
Con \( P(T^-|\neg D) = 0.95 \), entonces \( P(T^+|\neg D) = 0.05 \). Calculamos \( P(T^+) \):
\[
P(T^+) = (0.95 \cdot 0.01) + (0.05 \cdot 0.99) = 0.0095 + 0.0495 = 0.059
\]
\[
P(D|T^+) = \frac{0.95 \cdot 0.01}{0.059} \approx 0.1610
\]
La probabilidad aumenta al 16.10%.
Conclusión
La estadística bayesiana es una herramienta poderosa para actualizar nuestras creencias en función de nueva evidencia. A través de este ejercicio, hemos visto cómo el teorema de Bayes puede aplicarse en contextos médicos para evaluar la probabilidad de una enfermedad dado un resultado de prueba. Este tipo de análisis es crucial para la toma de decisiones informadas en diversos campos.