¿Qué es un Intervalo de Confianza?
Un intervalo de confianza es un rango de valores, derivado de una muestra de datos, que probablemente contenga el valor de un parámetro poblacional desconocido. Este intervalo tiene un nivel de confianza asociado, que representa la frecuencia con la que el intervalo capturaría el parámetro si se repitiera el muestreo muchas veces.
La fórmula general para un intervalo de confianza es:
\[
\text{Intervalo de Confianza} = \text{Estimación Puntual} \pm \text{Margen de Error}
\]
Donde el margen de error depende del nivel de confianza y de la desviación estándar de la muestra.
Ejercicio 1: Intervalo de Confianza para la Media Poblacional
Enunciado: Se desea estimar la media de la altura de los estudiantes de una universidad. Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y se obtiene una media muestral de 170 cm con una desviación estándar de 10 cm. Construye un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.
Solución:
Para construir un intervalo de confianza para la media poblacional cuando se conoce la desviación estándar de la muestra, utilizamos la fórmula:
\[
\bar{x} \pm z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
\]
Donde:
- \(\bar{x}\) es la media muestral (170 cm).
- \(z\) es el valor crítico correspondiente al nivel de confianza (para un 95% de confianza, \(z = 1.96\)).
- \(\sigma\) es la desviación estándar de la muestra (10 cm).
- \(n\) es el tamaño de la muestra (50).
Sustituyendo los valores:
\[
170 \pm 1.96 \left( \frac{10}{\sqrt{50}} \right)
\]
Calculamos el margen de error:
\[
1.96 \left( \frac{10}{\sqrt{50}} \right) \approx 1.96 \left( \frac{10}{7.071} \right) \approx 1.96 \times 1.414 \approx 2.77
\]
Por lo tanto, el intervalo de confianza es:
\[
170 \pm 2.77 \Rightarrow (167.23, 172.77)
\]
Conclusión: Con un 95% de confianza, la media de la altura de los estudiantes de la universidad está entre 167.23 cm y 172.77 cm.
Ejercicio 2: Intervalo de Confianza para la Proporción Poblacional
Enunciado: En una encuesta realizada a 400 personas, 160 indicaron que prefieren el té sobre el café. Construye un intervalo de confianza del 90% para la proporción poblacional que prefiere el té.
Solución:
Para construir un intervalo de confianza para la proporción poblacional, utilizamos la fórmula:
\[
\hat{p} \pm z \sqrt{ \frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n} }
\]
Donde:
- \(\hat{p}\) es la proporción muestral (\(\frac{160}{400} = 0.4\)).
- \(z\) es el valor crítico correspondiente al nivel de confianza (para un 90% de confianza, \(z = 1.645\)).
- \(n\) es el tamaño de la muestra (400).
Sustituyendo los valores:
\[
0.4 \pm 1.645 \sqrt{ \frac{0.4 \times 0.6}{400} }
\]
Calculamos el margen de error:
\[
1.645 \sqrt{ \frac{0.24}{400} } \approx 1.645 \times 0.0245 \approx 0.0403
\]
Por lo tanto, el intervalo de confianza es:
\[
0.4 \pm 0.0403 \Rightarrow (0.3597, 0.4403)
\]
Conclusión: Con un 90% de confianza, la proporción de personas que prefieren el té está entre 35.97% y 44.03%.
Ejercicio 3: Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias
Enunciado: Se desea comparar las medias de dos poblaciones independientes. Se toman muestras de tamaño 30 y 40, respectivamente, con medias muestrales de 50 y 55, y desviaciones estándar de 8 y 10. Construye un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de medias.
Solución:
Para construir un intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones independientes, utilizamos la fórmula:
\[
(\bar{x}_1 – \bar{x}_2) \pm z \sqrt{ \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2} }
\]
Donde:
- \(\bar{x}_1\) y \(\bar{x}_2\) son las medias muestrales (50 y 55).
- \(\sigma_1\) y \(\sigma_2\) son las desviaciones estándar de las muestras (8 y 10).
- \(n_1\) y \(n_2\) son los tamaños de las muestras (30 y 40).
- \(z\) es el valor crítico correspondiente al nivel de confianza (para un 99% de confianza, \(z = 2.576\)).
Sustituyendo los valores:
\[
(50 – 55) \pm 2.576 \sqrt{ \frac{8^2}{30} + \frac{10^2}{40} }
\]
Calculamos el margen de error:
\[
2.576 \sqrt{ \frac{64}{30} + \frac{100}{40} } \approx 2.576 \sqrt{2.133 + 2.5} \approx 2.576 \times 2.15 \approx 5.54
\]
Por lo tanto, el intervalo de confianza es:
\[
-5 \pm 5.54 \Rightarrow (-10.54, 0.54)
\]
Conclusión: Con un 99% de confianza, la diferencia de medias entre las dos poblaciones está entre -10.54 y 0.54.
Consejos para Resolver Ejercicios de Intervalos de Confianza
- Identifica el tipo de intervalo: Dependiendo del problema, puede ser un intervalo para la media, la proporción o la diferencia de medias.
- Verifica los datos: Asegúrate de tener todos los datos necesarios, como la media muestral, la desviación estándar y el tamaño de la muestra.
- Selecciona el nivel de confianza: El nivel de confianza determina el valor crítico \(z\) o \(t\) que utilizarás en la fórmula.
- Calcula el margen de error: Este es el componente clave que determina la amplitud del intervalo.
- Interpreta el resultado: Asegúrate de entender qué significa el intervalo en el contexto del problema.