¿Qué es una prueba de hipótesis?
Una prueba de hipótesis es un procedimiento estadístico que permite tomar decisiones sobre una población basándose en datos muestrales. Consiste en contrastar dos hipótesis: la hipótesis nula (\(H_0\)) y la hipótesis alternativa (\(H_1\)). La hipótesis nula representa una afirmación que se quiere poner a prueba, mientras que la hipótesis alternativa es la afirmación que se acepta si se rechaza la hipótesis nula.
¿Cuáles son los pasos para realizar una prueba de hipótesis?
Los pasos generales para realizar una prueba de hipótesis son los siguientes:
- Formular las hipótesis: Definir \(H_0\) y \(H_1\).
- Seleccionar el nivel de significancia (\(\alpha\)): Es la probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando es verdadera. Valores comunes son 0.05 o 0.01.
- Calcular el estadístico de prueba: Depende del tipo de prueba (por ejemplo, \(Z\), \(t\), \(\chi^2\), etc.).
- Determinar la región crítica: Es el conjunto de valores para los cuales se rechaza \(H_0\).
- Tomar una decisión: Comparar el estadístico de prueba con la región crítica y decidir si se rechaza o no \(H_0\).
Ejemplo práctico: Prueba de hipótesis para la media
Supongamos que queremos probar si la media de una población es igual a 50. Tenemos una muestra de 30 observaciones con una media muestral de 52 y una desviación estándar de 5. El nivel de significancia es \(\alpha = 0.05\).
Paso 1: Formular las hipótesis:
\[
H_0: \mu = 50 \\
H_1: \mu \neq 50
\]
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia: \(\alpha = 0.05\).
Paso 3: Calcular el estadístico de prueba:
\[
t = \frac{\bar{x} – \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{52 – 50}{5 / \sqrt{30}} \approx 2.19
\]
Paso 4: Determinar la región crítica. Para un nivel de significancia de 0.05 y 29 grados de libertad, el valor crítico de \(t\) es aproximadamente \(\pm 2.045\).
Paso 5: Tomar una decisión. Como \(2.19 > 2.045\), rechazamos \(H_0\) y concluimos que la media de la población es significativamente diferente de 50.
Preguntas de examen resueltas
Pregunta 1: Prueba de hipótesis para proporciones
Un fabricante afirma que menos del 10% de sus productos son defectuosos. En una muestra de 200 productos, se encontraron 18 defectuosos. Pruebe la afirmación del fabricante con un nivel de significancia de 0.05.
Solución:
Paso 1: Formular las hipótesis:
\[
H_0: p \geq 0.10 \\
H_1: p < 0.10
\]
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia: \(\alpha = 0.05\).
Paso 3: Calcular el estadístico de prueba:
\[
Z = \frac{\hat{p} – p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 – p_0)}{n}}} = \frac{0.09 – 0.10}{\sqrt{\frac{0.10 \times 0.90}{200}}} \approx -0.47
\]
Paso 4: Determinar la región crítica. Para \(\alpha = 0.05\), el valor crítico de \(Z\) es \(-1.645\).
Paso 5: Tomar una decisión. Como \(-0.47 > -1.645\), no rechazamos \(H_0\). No hay suficiente evidencia para apoyar la afirmación del fabricante.
Pregunta 2: Prueba de hipótesis para la varianza
Se desea probar si la varianza de una población es mayor que 4. Se toma una muestra de 25 observaciones con una varianza muestral de 6. Utilice un nivel de significancia de 0.01.
Solución:
Paso 1: Formular las hipótesis:
\[
H_0: \sigma^2 \leq 4 \\
H_1: \sigma^2 > 4
\]
Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia: \(\alpha = 0.01\).
Paso 3: Calcular el estadístico de prueba:
\[
\chi^2 = \frac{(n – 1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{24 \times 6}{4} = 36
\]
Paso 4: Determinar la región crítica. Para \(\alpha = 0.01\) y 24 grados de libertad, el valor crítico de \(\chi^2\) es aproximadamente 42.98.
Paso 5: Tomar una decisión. Como \(36 < 42.98\), no rechazamos \(H_0\). No hay suficiente evidencia para concluir que la varianza es mayor que 4.
Consejos para resolver pruebas de hipótesis
- Entender el contexto: Asegúrate de comprender el problema y las variables involucradas.
- Elegir la prueba adecuada: Dependiendo del tipo de datos y el tamaño de la muestra, selecciona la prueba correcta (Z, t, \(\chi^2\), etc.).
- Verificar supuestos: Asegúrate de que se cumplen los supuestos necesarios para la prueba seleccionada.
- Interpretar correctamente los resultados: No solo te limites a rechazar o no rechazar \(H_0\), sino que también interpreta el resultado en el contexto del problema.