Introducción
El análisis factorial es una técnica estadística fundamental para reducir la dimensionalidad de conjuntos de datos complejos, identificando patrones subyacentes y relaciones entre variables. Utilizado en campos como la psicometría, la economía y las ciencias sociales, este método permite simplificar grandes volúmenes de información en factores interpretables. En este artículo, exploraremos sus métodos, teoremas clave, ejercicios prácticos y aplicaciones en el mundo real.
Conceptos Básicos del Análisis Factorial
El análisis factorial busca explicar la correlación entre variables observadas mediante un número menor de variables latentes llamadas factores. El modelo general se expresa como:
$$ X = \Lambda F + \epsilon $$
donde $X$ es el vector de variables observadas, $\Lambda$ es la matriz de cargas factoriales, $F$ son los factores comunes y $\epsilon$ representa los errores únicos.
Ejemplo 1: Matriz de Correlaciones
Supongamos tres variables $X_1, X_2, X_3$ con la siguiente matriz de correlación:
$$ R = \begin{pmatrix} 1.0 & 0.7 & 0.6 \\ 0.7 & 1.0 & 0.5 \\ 0.6 & 0.5 & 1.0 \end{pmatrix} $$
El análisis factorial intentará explicar estas correlaciones mediante factores comunes.
Métodos de Extracción de Factores
1. Método de Componentes Principales
Este método transforma las variables originales en componentes no correlacionados. La varianza explicada por cada componente se calcula como:
$$ \lambda_k = \sum_{i=1}^p a_{ik}^2 $$
donde $a_{ik}$ son las cargas del componente $k$.
2. Método de Máxima Verosimilitud
Asume normalidad multivariada y estima los parámetros maximizando la función de verosimilitud:
$$ \mathcal{L}(\Lambda, \Psi) = -\frac{n}{2} \left[ \ln|\Sigma| + \text{tr}(S \Sigma^{-1}) \right] $$
donde $\Sigma = \Lambda \Lambda^T + \Psi$ y $S$ es la matriz de covarianza muestral.
Teoremas Fundamentales
Teorema 1: Unicidad de la Solución Factorial
Enunciado: Si $\Lambda$ es una matriz de cargas factoriales, entonces cualquier rotación ortogonal $T$ de $\Lambda$ también es solución.
Demostración: Sea $\Lambda^* = \Lambda T$, entonces:
$$ \Lambda^* (\Lambda^*)^T = \Lambda T T^T \Lambda^T = \Lambda I \Lambda^T = \Lambda \Lambda^T $$
Por lo tanto, $\Lambda^*$ preserva la estructura de covarianza.
Teorema 2: Propiedad de los Valores Propios
Enunciado: La suma de los valores propios de la matriz de correlación es igual a la traza de la matriz.
Demostración: Para una matriz $R$ simétrica:
$$ \sum_{i=1}^p \lambda_i = \text{tr}(R) = p $$
ya que los elementos diagonales de $R$ son 1.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Cálculo de Cargas Factoriales
Problema: Dada la matriz de correlación $R$ del Ejemplo 1, encuentre las cargas factoriales usando el método de componentes principales.
Solución:
- Calcular valores propios y vectores propios de $R$.
- Ordenar valores propios en forma descendente: $\lambda_1 = 2.1, \lambda_2 = 0.7, \lambda_3 = 0.2$.
- Las cargas son $\Lambda = \sqrt{\lambda_i} \cdot v_i$.
Ejercicio 2: Rotación Varimax
Problema: Aplique rotación varimax a la matriz de cargas $\Lambda = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.7 & 0.5 \\ 0.6 & 0.4 \end{pmatrix}$.
Solución: La rotación maximiza la varianza de las cargas al cuadrado:
$$ \text{Varimax} = \sum_{j=1}^k \left[ \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p (\lambda_{ij}^2)^2 – \left( \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p \lambda_{ij}^2 \right)^2 \right] $$
Aplicaciones Prácticas
El análisis factorial se utiliza en:
- Psicología: Desarrollo de tests de personalidad (ej. modelos psicométricos).
- Economía: Identificación de factores macroeconómicos.
- Marketing: Segmentación de consumidores basada en preferencias.
Para profundizar en aplicaciones estadísticas, visite nuestro artículo sobre estadística multivariante.
Conclusión
El análisis factorial es una herramienta poderosa para simplificar datos multivariados. Hemos cubierto métodos de extracción, teoremas fundamentales y ejercicios prácticos. Su versatilidad lo hace indispensable en investigación cuantitativa, permitiendo descubrir estructuras ocultas en conjuntos de datos complejos.
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