Introducción
El análisis de series de tiempo es una herramienta fundamental en economía para entender patrones, predecir tendencias y tomar decisiones basadas en datos históricos. Desde el estudio del PIB hasta la inflación, las series de tiempo permiten modelar fenómenos dinámicos y extraer información valiosa para políticas económicas y estrategias empresariales. En este artículo, exploraremos conceptos clave, teoremas fundamentales, ejercicios prácticos y aplicaciones reales.
Conceptos Básicos
Una serie de tiempo es una secuencia de datos ordenados en el tiempo, representada como $y_t$, donde $t$ denota el período temporal. En economía, estas series pueden ser estacionarias o no estacionarias, lo que afecta su análisis. Una serie es estacionaria si su media, varianza y autocorrelación son constantes en el tiempo.
Ejemplo: Serie del PIB Trimestral
Consideremos el PIB trimestral de un país, modelado como $Y_t = \mu + \epsilon_t$, donde $\epsilon_t$ es un ruido blanco con media cero. Si $\mu$ es constante, la serie es estacionaria en media.
Modelos ARIMA
Los modelos ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) son ampliamente usados para series no estacionarias. Un modelo ARIMA$(p, d, q)$ se define como:
$$ \Delta^d y_t = c + \sum_{i=1}^p \phi_i \Delta^d y_{t-i} + \epsilon_t + \sum_{j=1}^q \theta_j \epsilon_{t-j} $$
donde $\Delta^d$ es el operador de diferencias de orden $d$.
Teorema 1: Invertibilidad de un Proceso MA
Un proceso de media móvil MA$(q)$ es invertible si todas las raíces del polinomio $\theta(B) = 1 + \theta_1 B + \dots + \theta_q B^q$ caen fuera del círculo unitario.
Demostración:
Sea $\epsilon_t = \theta(B)^{-1} y_t$. Si $|\theta(z)| \neq 0$ para $|z| \leq 1$, la serie converge en media cuadrática, garantizando invertibilidad.
Pruebas de Raíz Unitaria
Para detectar no estacionariedad, se usan pruebas como Dickey-Fuller. La hipótesis nula es que la serie tiene una raíz unitaria ($H_0: \phi = 1$ en $y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t$).
Ejercicio 1: Aplicar Dickey-Fuller
Dada la serie $y_t = 0.95 y_{t-1} + \epsilon_t$, realiza la prueba Dickey-Fuller aumentada (ADF).
Solución:
- Calcula el estadístico ADF: $\text{ADF} = \frac{\hat{\phi} – 1}{\text{SE}(\hat{\phi})}$.
- Compara con el valor crítico al 5% (-2.89). Si ADF > -2.89, no se rechaza $H_0$.
Modelos ARCH/GARCH
Para series con volatilidad cambiante (como rendimientos financieros), los modelos ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) y GARCH son esenciales. Un GARCH$(1,1)$ se define como:
$$ \sigma_t^2 = \omega + \alpha \epsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 $$
Teorema 2: Estacionariedad de GARCH(1,1)
El proceso GARCH$(1,1)$ es estacionario si $\alpha + \beta < 1$.
Demostración:
La varianza incondicional es $\sigma^2 = \frac{\omega}{1 – \alpha – \beta}$, que es finita si $\alpha + \beta < 1$.
Aplicaciones Prácticas
- Predicción de Inflación: Modelos ARIMA para pronósticos a corto plazo.
- Riesgo Financiero: GARCH para estimar volatilidad en mercados accionarios.
- Política Monetaria: Series de tasas de interés para decisiones de bancos centrales.
Para profundizar en conceptos de estadística económica, visita Estadística Económica.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 2: Calcular Autocorrelación
Dada la serie $y_t = \{2, 4, 6, 8\}$, calcula la autocorrelación $\rho(1)$.
Solución:
$\rho(1) = \frac{\text{Cov}(y_t, y_{t-1})}{\text{Var}(y_t)} = \frac{2}{6.67} \approx 0.3$.
Ejercicio 3: Estimación AR(1)
Ajusta un modelo AR(1) a $y_t = \{1, 3, 2, 4\}$.
Solución:
$\hat{\phi} = \frac{\sum y_t y_{t-1}}{\sum y_{t-1}^2} = \frac{1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 4}{1^2 + 3^2 + 2^2} \approx 0.85$.
Teorema 3: Descomposición de Wold
Toda serie estacionaria $y_t$ puede expresarse como:
$$ y_t = \mu + \sum_{j=0}^\infty \psi_j \epsilon_{t-j} $$
donde $\epsilon_t$ es ruido blanco y $\sum \psi_j^2 < \infty$.
Demostración:
Se basa en la representación espectral de procesos estacionarios y la invertibilidad del operador de rezagos.
Conclusión
El análisis de series de tiempo proporciona herramientas poderosas para modelar y predecir variables económicas. Desde modelos ARIMA hasta GARCH, estas técnicas son indispensables en investigación y práctica económica. Para más detalles sobre modelos avanzados, consulta Modelos Econométricos.
Resumen: Cubrimos estacionariedad, ARIMA, pruebas de raíz unitaria, ARCH/GARCH, teoremas clave y ejercicios aplicados.
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