Introducción
En el mundo de la estadística, las pruebas de hipótesis son una herramienta fundamental para tomar decisiones basadas en datos. Imagina que eres un médico evaluando un nuevo tratamiento o un ingeniero verificando la calidad de un producto. ¿Cómo puedes estar seguro de que tus conclusiones no se deben al azar? Las pruebas de hipótesis proporcionan un marco riguroso para responder estas preguntas. En este artículo, exploraremos los conceptos clave, teoremas fundamentales, ejemplos prácticos y aplicaciones en la vida real. Si deseas repasar conceptos básicos de estadística, visita Introducción a la Estadística.
Conceptos Básicos
Una hipótesis estadística es una afirmación sobre un parámetro poblacional. En una prueba de hipótesis, contrastamos dos hipótesis:
- Hipótesis nula ($H_0$): Representa el status quo o una afirmación de «no efecto».
- Hipótesis alternativa ($H_1$ o $H_a$): Representa lo que queremos probar.
El proceso general implica:
- Formular $H_0$ y $H_1$.
- Seleccionar un nivel de significancia ($\alpha$).
- Calcular un estadístico de prueba.
- Tomar una decisión (rechazar o no rechazar $H_0$).
Tipos de Pruebas
Prueba Z para la Media
Se usa cuando conocemos la varianza poblacional ($\sigma^2$). El estadístico de prueba es:
donde $\bar{X}$ es la media muestral, $\mu_0$ es el valor hipotético de la media, $\sigma$ es la desviación estándar poblacional, y $n$ es el tamaño de la muestra.
Prueba t para la Media
Se usa cuando no conocemos $\sigma^2$ y la muestra es pequeña. El estadístico es:
donde $s$ es la desviación estándar muestral.
Teoremas Fundamentales
Teorema 1: Lema de Neyman-Pearson
Dadas dos hipótesis simples $H_0: \theta = \theta_0$ y $H_1: \theta = \theta_1$, la prueba más potente de nivel $\alpha$ rechaza $H_0$ cuando la razón de verosimilitud $\Lambda(x) = \frac{L(\theta_0|x)}{L(\theta_1|x)} \leq k$, donde $k$ se elige para que $P(\Lambda(X) \leq k | H_0) = \alpha$.
Demostración: Sea $\phi$ una prueba con nivel $\alpha$. Por definición de potencia, queremos maximizar $\beta(\theta_1) = E_{\theta_1}[\phi(X)]$ sujeto a $E_{\theta_0}[\phi(X)] \leq \alpha$. Usando multiplicadores de Lagrange, se demuestra que la solución óptima es la región de rechazo dada por el lema.
Teorema 2: Teorema del Límite Central en Pruebas de Hipótesis
Bajo condiciones de regularidad, el estadístico de prueba $Z = \frac{\hat{\theta} – \theta_0}{se(\hat{\theta})}$ sigue aproximadamente una distribución $N(0,1)$ bajo $H_0$ cuando $n \to \infty$.
Demostración: Por el TLC, $\sqrt{n}(\hat{\theta} – \theta_0) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$. Como $se(\hat{\theta}) \approx \sigma/\sqrt{n}$, el resultado sigue directamente.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Prueba Z unilateral
Una empresa afirma que sus baterías duran en promedio 100 horas. Se toma una muestra de 30 baterías con $\bar{X} = 98$ horas y $\sigma = 5$ horas. Prueba $H_0: \mu \geq 100$ vs $H_1: \mu < 100$ con $\alpha = 0.05$.
Solución:
- $Z = \frac{98 – 100}{5/\sqrt{30}} \approx -2.19$
- Valor crítico: $z_{0.05} = -1.645$
- Como $-2.19 < -1.645$, rechazamos $H_0$.
Ejercicio 2: Prueba t bilateral
Un fabricante afirma que sus tornillos tienen una resistencia media de 8.0 N/mm². Una muestra de 15 tornillos da $\bar{X} = 7.8$ y $s = 0.5$. Prueba la hipótesis con $\alpha = 0.01$.
Solución:
- $t = \frac{7.8 – 8.0}{0.5/\sqrt{15}} \approx -1.55$
- Valores críticos: $\pm t_{0.005,14} = \pm 2.977$
- Como $-2.977 < -1.55 < 2.977$, no rechazamos $H_0$.
Aplicaciones Prácticas
Las pruebas de hipótesis tienen numerosas aplicaciones:
- Medicina: Evaluar la eficacia de nuevos tratamientos.
- Control de calidad: Verificar especificaciones de productos.
- Ciencias sociales: Analizar diferencias entre grupos.
- Economía: Probar teorías sobre comportamiento de mercados.
Para profundizar en aplicaciones industriales, consulta Estadística Industrial.
Conclusión
Las pruebas de hipótesis son una herramienta poderosa en el análisis estadístico. Hemos cubierto:
- Los conceptos básicos de hipótesis nula y alternativa.
- Diferentes tipos de pruebas (Z, t).
- Teoremas fundamentales que sustentan la teoría.
- Ejemplos prácticos de aplicación.
Dominar estas técnicas permite tomar decisiones informadas basadas en datos, reduciendo la incertidumbre en diversos campos profesionales.
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