Introducción
En estadística, la estimación es una herramienta fundamental para inferir características de una población a partir de muestras. Ya sea que queramos calcular el promedio de ingresos en un país o la probabilidad de éxito de un tratamiento médico, necesitamos métodos confiables para obtener estas aproximaciones. En este artículo, exploraremos dos enfoques clave: la estimación puntual y la estimación por intervalos, sus métodos matemáticos, ejemplos prácticos y aplicaciones en el mundo real. Si deseas repasar conceptos básicos de estadística, puedes visitar nuestro artículo sobre Introducción a la Estadística.
Estimación Puntual
La estimación puntual consiste en utilizar un valor único, calculado a partir de datos muestrales, para aproximar un parámetro poblacional desconocido. Los estimadores más comunes incluyen:
- Media muestral ($\bar{X}$) para la media poblacional ($\mu$)
- Varianza muestral ($S^2$) para la varianza poblacional ($\sigma^2$)
- Proporción muestral ($\hat{p}$) para la proporción poblacional ($p$)
Ejemplo 1: Estimación de la media poblacional
Supongamos que queremos estimar el peso promedio de los estudiantes universitarios. Tomamos una muestra de 50 estudiantes y obtenemos una media de 68 kg. Nuestra estimación puntual para el peso promedio poblacional sería:
$$\hat{\mu} = \bar{X} = 68\text{ kg}$$
Teorema 1: Insesgamiento de la media muestral
Enunciado: La media muestral $\bar{X}$ es un estimador insesgado de la media poblacional $\mu$.
Demostración:
$$E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n}\cdot n\mu = \mu$$
Por lo tanto, $E(\bar{X}) = \mu$, lo que demuestra que $\bar{X}$ es insesgado.
Estimación por Intervalos
A diferencia de la estimación puntual, la estimación por intervalos proporciona un rango de valores plausibles para el parámetro poblacional, junto con un nivel de confianza asociado. Un intervalo de confianza para la media con varianza conocida se calcula como:
$$\bar{X} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Ejemplo 2: Intervalo de confianza para la media
Continuando con el ejemplo anterior, supongamos que la desviación estándar poblacional es σ = 5 kg y queremos un intervalo al 95% de confianza:
$$68 \pm 1.96 \cdot \frac{5}{\sqrt{50}} = 68 \pm 1.39$$
El intervalo resultante es (66.61, 69.39) kg.
Teorema 2: Distribución del estimador de proporción
Enunciado: Para muestras grandes, la distribución muestral de $\hat{p}$ es aproximadamente normal con media $p$ y varianza $\frac{p(1-p)}{n}$.
Demostración:
Por el Teorema del Límite Central, $\hat{p} = \frac{X}{n}$ donde $X \sim Bin(n,p)$. Para $n$ grande:
$$\hat{p} \approx N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$$
La esperanza es $E(\hat{p}) = p$ y la varianza $Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}$.
Métodos de Estimación
Método de Máxima Verosimilitud
Este método busca encontrar los valores de los parámetros que maximizan la función de verosimilitud:
$$L(\theta|x) = \prod_{i=1}^n f(x_i|\theta)$$
Método de los Momentos
Iguala los momentos muestrales con los momentos poblacionales para estimar los parámetros.
Ejemplo 3: Estimación por máxima verosimilitud
Para una muestra de una distribución exponencial con pdf $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, la función de verosimilitud es:
$$L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum x_i}$$
Maximizando el logaritmo, obtenemos el estimador:
$$\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum X_i} = \frac{1}{\bar{X}}$$
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1
En una muestra de 36 observaciones, la media es 50 y la desviación estándar 12. Construya un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.
Solución:
$$50 \pm 2.576 \cdot \frac{12}{\sqrt{36}} = 50 \pm 5.152$$
Intervalo: (44.848, 55.152)
Ejercicio 2
En una encuesta a 400 personas, 120 apoyan una medida política. Estime la proporción poblacional con un intervalo al 95%.
Solución:
$\hat{p} = 120/400 = 0.3$
$$0.3 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.3 \cdot 0.7}{400}} = 0.3 \pm 0.045$$
Intervalo: (0.255, 0.345)
Teorema 3: Tamaño muestral para proporciones
Enunciado: El tamaño muestral necesario para estimar una proporción con margen de error $E$ es:
$$n = \left(\frac{z_{\alpha/2}}{E}\right)^2 p(1-p)$$
Demostración:
Partiendo del margen de error del intervalo para proporciones:
$$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
Despejando $n$ se obtiene la fórmula deseada.
Aplicaciones Prácticas
La estimación estadística tiene numerosas aplicaciones:
- Medicina: Estimación de la efectividad de tratamientos
- Economía: Predicción de indicadores económicos
- Control de calidad: Evaluación de parámetros de producción
- Ciencias Sociales: Análisis de encuestas y opinión pública
Para profundizar en aplicaciones económicas, consulta nuestro artículo sobre Estadística en Economía.
Conclusión
En este artículo hemos explorado los fundamentos de la estimación estadística, tanto puntual como por intervalos. Hemos presentado:
- Los conceptos básicos de estimación puntual y sus estimadores comunes
- La construcción de intervalos de confianza para diferentes parámetros
- Métodos de estimación como máxima verosimilitud y momentos
- Teoremas fundamentales con sus demostraciones
- Ejercicios prácticos resueltos
- Aplicaciones en diversos campos
La estimación estadística es una herramienta poderosa para tomar decisiones informadas en condiciones de incertidumbre, y su correcta comprensión es esencial para cualquier profesional que trabaje con datos.
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