Introducción
Las distribuciones continuas son fundamentales en estadística y probabilidad, permitiendo modelar fenómenos aleatorios con infinitos resultados posibles. En este artículo, exploraremos tres de las distribuciones más importantes: la Normal, la t-Student y la F. Estas distribuciones no solo son teóricamente elegantes, sino que también tienen aplicaciones prácticas en campos como la ingeniería, la economía y las ciencias sociales. Si deseas profundizar en conceptos básicos, puedes revisar nuestro artículo sobre Introducción a la Aritmética.
Distribución Normal
La distribución normal, también conocida como gaussiana, es una de las más utilizadas debido al Teorema del Límite Central. Su función de densidad está dada por:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}$$
Donde $\mu$ es la media y $\sigma$ la desviación estándar.
Ejemplo 1: Cálculo de Probabilidad
Supongamos que los puntajes de un examen siguen una distribución normal con $\mu = 75$ y $\sigma = 10$. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga más de 90 puntos?
Solución: Usando la estandarización $Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$, calculamos $P(X > 90) = P\left(Z > \frac{90 – 75}{10}\right) = P(Z > 1.5) \approx 0.0668$.
Distribución t-Student
Esta distribución es utilizada cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la desviación estándar poblacional es desconocida. Su forma es similar a la normal pero con colas más pesadas.
Teorema 1: Convergencia a la Normal
Cuando los grados de libertad $n$ tienden a infinito, la distribución t-Student converge a una distribución normal estándar.
Demostración: La función de densidad de la t-Student es:
$$f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}$$
Cuando $n \to \infty$, el término $\left(1 + \frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}$ converge a $e^{-\frac{t^2}{2}}$, que es el núcleo de la normal estándar.
Distribución F
La distribución F surge en el análisis de varianza (ANOVA) y en la comparación de varianzas de dos poblaciones normales. Se define como el cociente de dos variables chi-cuadrado independientes divididas por sus grados de libertad.
Ejemplo 2: Uso en ANOVA
En un experimento agrícola, se comparan los rendimientos de tres tipos de fertilizantes. Si el estadístico F calculado es 4.56 con grados de libertad (2, 27), ¿cuál es el valor crítico para $\alpha = 0.05$?
Solución: Usando tablas F, el valor crítico es aproximadamente 3.35. Como 4.56 > 3.35, rechazamos la hipótesis nula de igualdad de medias.
Teoremas Clave
Teorema 2: Transformación de Variables
Si $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, entonces $aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$.
Demostración: Usando la función generadora de momentos o el método de transformación de variables.
Teorema 3: Relación entre t y F
Si $T \sim t_n$, entonces $T^2 \sim F_{1, n}$.
Demostración: Notar que $T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}}$ donde $Z \sim N(0,1)$ y $V \sim \chi^2_n$. Entonces $T^2 = \frac{Z^2/1}{V/n} \sim F_{1,n}$.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1
Calcula $P(-1.5 < Z < 2.3)$ para $Z \sim N(0,1)$.
Solución: $P(Z < 2.3) - P(Z < -1.5) = 0.9893 - 0.0668 = 0.9225$.
Ejercicio 2
Encuentra el valor $t_{0.025}$ para una distribución t con 15 grados de libertad.
Solución: Usando tablas t, $t_{0.025,15} \approx 2.131$.
Ejercicio 3
Si $X \sim F_{5,10}$, calcula $P(X > 3.33)$.
Solución: El valor crítico para $\alpha = 0.05$ es 3.33, luego $P(X > 3.33) = 0.05$.
Ejercicio 4
Demuestra que si $X \sim t_n$, entonces $E[X] = 0$ para $n > 1$.
Solución: Por simetría de la distribución t y existencia de la media cuando $n > 1$.
Ejercicio 5
Para dos muestras normales independientes con $n_1 = 10$, $n_2 = 8$, y varianzas muestrales $s_1^2 = 4.5$, $s_2^2 = 3.2$, calcula el estadístico F para comparar varianzas.
Solución: $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{4.5}{3.2} \approx 1.406$ con grados de libertad (9,7).
Aplicaciones Prácticas
Estas distribuciones son esenciales en:
- Control de calidad (Normal)
- Pruebas de hipótesis con muestras pequeñas (t-Student)
- Comparación de modelos estadísticos (F)
Para más aplicaciones, consulta nuestro artículo sobre Aplicaciones de la Estadística.
Conclusión
Las distribuciones Normal, t-Student y F son herramientas poderosas en el análisis estadístico. La Normal modela fenómenos naturales, la t-Student es crucial para muestras pequeñas, y la F permite comparar varianzas. Su comprensión es fundamental para cualquier profesional que trabaje con datos.
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