Introducción
Las distribuciones discretas son herramientas fundamentales en probabilidad y estadística, utilizadas para modelar fenómenos donde los resultados son contables. Desde predecir el número de éxitos en una serie de ensayos hasta estimar la cantidad de llamadas recibidas en un call center, estas distribuciones nos permiten cuantificar la incertidumbre en escenarios reales. En este artículo, exploraremos las distribuciones binomial y Poisson, junto con otras menos conocidas pero igualmente importantes, demostrando su utilidad con ejemplos prácticos y teoremas clave.
Distribución Binomial
La distribución binomial modela el número de éxitos $k$ en $n$ ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito $p$. Su función de masa de probabilidad (PMF) es:
$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$
Ejemplo: Si lanzamos una moneda justa 10 veces, la probabilidad de obtener exactamente 3 caras es:
$$ P(X = 3) = \binom{10}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^7 \approx 0.117 $$
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson modela eventos raros en un intervalo de tiempo o espacio, con tasa de ocurrencia $\lambda$. Su PMF es:
$$ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$
Ejemplo: Si un call center recibe en promedio 5 llamadas por hora, la probabilidad de recibir exactamente 2 llamadas en una hora es:
$$ P(X = 2) = \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2!} \approx 0.084 $$
Teorema: Convergencia de Binomial a Poisson
Teorema: Si $n \to \infty$ y $p \to 0$ tal que $np \to \lambda$, entonces la distribución binomial converge a la distribución de Poisson:
$$ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$
Demostración: Usando desarrollos de Taylor y límites, se puede mostrar que $(1-p)^{n-k} \approx e^{-\lambda}$ y $\binom{n}{k} \approx \frac{n^k}{k!}$ bajo las condiciones dadas.
Distribución Geométrica
Modela el número de ensayos hasta el primer éxito. Su PMF es:
$$ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $$
Ejemplo: La probabilidad de que el primer «6» al lanzar un dado ocurra en el 4° intento es:
$$ P(X = 4) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 \cdot \frac{1}{6} \approx 0.096 $$
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Calcula la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos en 5 ensayos con $p = 0.3$.
Solución:
$$ P(X = 2) = \binom{5}{2} (0.3)^2 (0.7)^3 = 10 \cdot 0.09 \cdot 0.343 = 0.3087 $$
Ejercicio 2: Si $\lambda = 4$, encuentra $P(X = 0)$ para una Poisson.
Solución:
$$ P(X = 0) = \frac{e^{-4} \cdot 4^0}{0!} = e^{-4} \approx 0.0183 $$
Aplicaciones Prácticas
Las distribuciones discretas se aplican en:
- Control de calidad: Uso de binomial para defectos en lotes.
- Telecomunicaciones: Poisson para modelar tráfico de red.
- Finanzas: Modelado de riesgos operacionales.
Para profundizar en aplicaciones, visita nuestro artículo sobre probabilidad aplicada.
Conclusión
Las distribuciones discretas como la binomial, Poisson y geométrica son esenciales para modelar fenómenos con resultados contables. Hemos visto sus definiciones, teoremas clave y aplicaciones prácticas. Para más detalles sobre distribuciones continuas, consulta este enlace.
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