Introducción
La estadística es una herramienta fundamental en psicología, permitiendo a los investigadores transformar datos en conocimiento significativo. Desde evaluar la eficacia de una terapia hasta analizar patrones de comportamiento, los métodos estadísticos ofrecen un marco riguroso para la interpretación de resultados. En este artículo, exploraremos técnicas clave, teoremas fundamentales y ejercicios prácticos que ilustran cómo la estadística impulsa el avance de la psicología.
1. Estadística Descriptiva en Psicología
La estadística descriptiva resume y organiza los datos para facilitar su interpretación. En psicología, medidas como la media, desviación estándar y percentiles son esenciales.
Ejemplo: Ansiedad en Estudiantes
Un estudio midió los niveles de ansiedad (en una escala de 1 a 10) en 50 estudiantes:
Datos: $[4, 5, 7, 3, 8, 6, 5, 9, 2, 7, \dots]$
Media: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 5.8$
Desviación estándar: $s = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{n-1}} \approx 2.1$
2. Correlación y Regresión
La correlación mide la relación lineal entre dos variables, mientras que la regresión predice una variable en función de otra.
Teorema 1: Coeficiente de Correlación de Pearson
Dadas dos variables $X$ e $Y$, el coeficiente de Pearson $r$ se define como:
$$ r = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i – \bar{x})^2 \sum (y_i – \bar{y})^2}} $$
Demostración: Derivación a partir de la covarianza y las desviaciones estándar de $X$ e $Y$.
Ejercicio 1: Calcular la Correlación
Datos de horas de estudio ($X$) y calificaciones ($Y$):
$X = [2, 4, 3, 5, 6]$, $Y = [60, 80, 70, 90, 85]$
Solución:
- Calcular medias: $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 77$.
- Calcular numerador: $\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = 70$.
- Denominador: $\sqrt{10 \cdot 530} \approx 72.8$.
- $r \approx \frac{70}{72.8} \approx 0.96$ (correlación fuerte).
3. Pruebas de Hipótesis
Permiten evaluar si los resultados son estadísticamente significativos. Ejemplo común: prueba t.
Teorema 2: Prueba t para Muestras Independientes
Para comparar las medias de dos grupos:
$$ t = \frac{\bar{x}_1 – \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} $$
Demostración: Bajo $H_0$, la diferencia de medias sigue una distribución t de Student.
Ejercicio 2: Prueba t
Grupo A (terapia): $\bar{x}_A = 6.2$, $s_A = 1.5$, $n_A = 30$.
Grupo B (control): $\bar{x}_B = 5.0$, $s_B = 1.8$, $n_B = 30$.
Solución:
- Calcular $t = \frac{6.2 – 5.0}{\sqrt{\frac{1.5^2}{30} + \frac{1.8^2}{30}}} \approx 2.89$.
- Comparar con $t_{crítico}$ (ej., 2.00 para $\alpha = 0.05$).
- Rechazar $H_0$: la terapia es efectiva.
4. ANOVA
El análisis de varianza compara múltiples grupos simultáneamente.
Teorema 3: ANOVA de Una Vía
La variabilidad total se divide en:
$$ SST = SSB + SSW $$
donde $SSB$ es entre grupos y $SSW$ es dentro de grupos.
Demostración: Partición de la suma de cuadrados.
5. Aplicaciones Prácticas
- Evaluación de terapias: Comparar pre-post intervención.
- Psicometría: Validar tests psicológicos.
- Investigación cognitiva: Analizar tiempos de reacción.
Para profundizar en conceptos básicos, visita Introducción a la Estadística.
Ejercicios Adicionales
Ejercicio 3: Regresión Lineal
Ajustar una recta $Y = aX + b$ para los datos:
$X = [1, 2, 3, 4]$, $Y = [1, 3, 3, 5]$.
Solución: $a = 1.2$, $b = 0.1$.
Ejercicio 4: Chi-Cuadrado
Probar independencia entre género y preferencia política (tabla 2×2).
Solución: $\chi^2 = 4.0$ (no significativo).
Ejercicio 5: Tamaño del Efecto
Calcular $d$ de Cohen para $\bar{x}_1 = 10$, $\bar{x}_2 = 8$, $s = 2$.
Solución: $d = 1.0$ (efecto grande).
Conclusión
La estadística en psicología proporciona métodos robustos para analizar datos, desde descriptivos hasta inferenciales. Dominar estas técnicas permite extraer conclusiones válidas y contribuir al avance científico. Para más sobre análisis avanzado, consulta Análisis Multivariado.
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