Introducción
La estadística es una herramienta fundamental en el campo de la salud, permitiendo a los investigadores y profesionales tomar decisiones basadas en datos. Desde el diseño de estudios clínicos hasta el análisis de resultados, la estadística proporciona métodos rigurosos para evaluar la eficacia de tratamientos, predecir brotes epidemiológicos y optimizar recursos sanitarios. En este artículo, exploraremos los conceptos clave, teoremas fundamentales y aplicaciones prácticas de la estadística en salud, acompañados de ejemplos y ejercicios resueltos.
1. Tipos de Estudios en Salud
En salud, los estudios pueden clasificarse en observacionales y experimentales. A continuación, se detallan los más comunes:
Ejemplo: Estudio de Cohortes
Un estudio de cohortes sigue a un grupo de individuos expuestos y no expuestos a un factor de riesgo (ej. tabaquismo) durante un período para comparar la incidencia de una enfermedad (ej. cáncer de pulmón). La razón de riesgos (RR) se calcula como:
$$ RR = \frac{\text{Incidencia en expuestos}}{\text{Incidencia en no expuestos}} $$
2. Ensayos Clínicos Aleatorizados
Los ensayos clínicos aleatorizados (ECA) son el estándar de oro para evaluar tratamientos. Los participantes se asignan al azar a grupos de intervención o control.
Teorema 1: Ley de los Grandes Números en Ensayos Clínicos
En un ECA con asignación aleatoria, a medida que el tamaño de la muestra $n$ tiende a infinito, las características basales de los grupos se equilibran.
Demostración: Sea $X_i$ una variable basal (ej. edad). Por la ley de los grandes números:
$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \rightarrow \mu \quad \text{(convergencia en probabilidad)} $$
Por lo tanto, ambos grupos tendrán características similares en muestras grandes.
3. Análisis de Supervivencia
El análisis de supervivencia evalúa el tiempo hasta un evento (ej. muerte o recaída). Una herramienta clave es la función de supervivencia $S(t)$:
$$ S(t) = P(T > t) $$
Ejemplo: Kaplan-Meier
En un estudio de pacientes con cáncer, la estimación de Kaplan-Meier para $S(12)$ meses fue 0.75, lo que significa que el 75% de los pacientes sobrevivieron al menos 12 meses.
4. Regresión Logística en Diagnóstico
La regresión logística modela la probabilidad de un resultado binario (ej. enfermedad presente/ausente) en función de predictores.
Teorema 2: Máxima Verosimilitud en Regresión Logística
Los coeficientes $\beta$ se estiman maximizando la función de verosimilitud:
$$ L(\beta) = \prod_{i=1}^n p_i^{y_i} (1-p_i)^{1-y_i} $$
donde $p_i = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_i)}}$.
5. Metaanálisis
El metaanálisis combina resultados de múltiples estudios para obtener una estimación más precisa. Un modelo común es el de efectos aleatorios:
$$ \hat{\theta} = \frac{\sum w_i \theta_i}{\sum w_i}, \quad w_i = \frac{1}{\sigma_i^2 + \tau^2} $$
donde $\tau^2$ es la varianza entre estudios.
6. Teorema Central del Límite en Salud
Teorema 3: Aplicación del TCL
Para muestras grandes ($n \geq 30$), la media muestral de medidas fisiológicas (ej. presión arterial) sigue una distribución normal, independientemente de la distribución poblacional.
Demostración: Sea $X_1, …, X_n$ i.i.d. con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$. Entonces:
$$ \frac{\bar{X} – \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \rightarrow N(0,1) $$
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Cálculo de Sensibilidad
Una prueba diagnóstica detectó 80 de 100 enfermos y dio 90 negativos en 100 sanos. Calcule sensibilidad y especificidad.
Solución:
Sensibilidad = VP / (VP + FN) = 80/100 = 0.8
Especificidad = VN / (VN + FP) = 90/100 = 0.9
Ejercicio 2: Riesgo Relativo
En un estudio, 50 de 200 fumadores desarrollaron cáncer vs. 10 de 300 no fumadores. Calcule RR.
Solución:
$$ RR = \frac{50/200}{10/300} = 7.5 $$
Aplicaciones Prácticas
- Epidemiología: Modelar propagación de enfermedades usando modelos epidemiológicos.
- Farmacología: Diseño de ensayos para nuevos medicamentos.
- Salud Pública: Evaluación de programas de prevención.
Para profundizar en conceptos básicos, visite introducción a la aritmética.
Conclusión
La estadística es indispensable en salud para tomar decisiones basadas en evidencia. Hemos cubierto estudios, ensayos clínicos, análisis de supervivencia y técnicas avanzadas como metaanálisis. Los teoremas presentados fundamentan los métodos, mientras que los ejercicios ilustran su aplicación. Dominar estos conceptos permite contribuir al avance de la medicina y la salud pública.
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