Introducción
La estadística es una herramienta fundamental en la investigación científica, permitiendo transformar datos en conocimiento. Desde la medicina hasta la economía, su correcta aplicación garantiza resultados confiables y reproducibles. En este artículo, exploraremos cómo diseñar estudios estadísticos, analizar datos y aplicar teoremas clave, con ejemplos prácticos y ejercicios resueltos. Si deseas profundizar en conceptos básicos, revisa nuestra introducción a la aritmética.
Diseño de Experimentos
El diseño estadístico determina la calidad de los datos recolectados. Un buen diseño minimiza sesgos y maximiza la precisión.
Ejemplo: Ensayo Clínico Aleatorizado
Supongamos que queremos evaluar un nuevo fármaco. Dividimos a 100 pacientes en dos grupos: 50 reciben el fármaco (grupo tratamiento) y 50 un placebo (grupo control). La asignación es aleatoria para evitar sesgos.
Análisis Descriptivo
Antes de realizar inferencias, es crucial describir los datos mediante medidas de tendencia central y dispersión.
Teorema 1: Ley de los Grandes Números
Sea $X_1, X_2, \dots, X_n$ una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media $\mu$. Entonces:
$$ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu \quad \text{cuando} \quad n \to \infty $$
Demostración: Por la desigualdad de Chebyshev, para todo $\epsilon > 0$:
$$ P(|\bar{X}_n – \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\text{Var}(\bar{X}_n)}{\epsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n \epsilon^2} \to 0 $$
Inferencia Estadística
Permite generalizar conclusiones de una muestra a la población.
Teorema 2: Teorema Central del Límite
Si $X_1, X_2, \dots, X_n$ son variables aleatorias i.i.d. con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, entonces:
$$ \frac{\bar{X}_n – \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{D} N(0,1) $$
Demostración: Usando funciones características, la suma estandarizada converge a la función característica de una normal estándar.
Regresión Lineal
Modela la relación entre una variable dependiente y una o más independientes.
Ejemplo: Predicción de Ventas
Un modelo $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ predice ventas ($Y$) en función del presupuesto publicitario ($X$). Usando mínimos cuadrados, estimamos $\beta_0$ y $\beta_1$.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Media y Varianza
Calcula la media y varianza de los datos: 3, 5, 7, 9.
Solución:
Media: $\bar{X} = \frac{3 + 5 + 7 + 9}{4} = 6$
Varianza: $s^2 = \frac{(3-6)^2 + \dots + (9-6)^2}{4} = 5$
Ejercicio 2: Intervalo de Confianza
Para una muestra con $\bar{X} = 80$, $s = 10$ y $n = 25$, construye un IC del 95% para $\mu$.
Solución:
Usamos $z_{0.025} = 1.96$:
$$ 80 \pm 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{25}} = [76.08, 83.92] $$
Aplicaciones Prácticas
La estadística se aplica en:
- Medicina: Análisis de supervivencia en ensayos clínicos.
- Economía: Predicción de indicadores macroeconómicos.
- Ingeniería: Control de calidad en procesos industriales.
Para más aplicaciones, visita nuestro artículo sobre aplicaciones de la estadística.
Conclusión
La estadística es esencial en la investigación, desde el diseño hasta el análisis de datos. Hemos cubierto teoremas fundamentales, ejercicios prácticos y aplicaciones reales. Dominar estos conceptos permite tomar decisiones basadas en evidencia y contribuir al avance científico.
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