Introducción
El análisis de correlación es una herramienta fundamental en estadística que nos permite medir la relación entre dos o más variables. Desde la economía hasta la medicina, entender cómo se relacionan los datos es clave para tomar decisiones informadas. En este artículo, exploraremos los métodos más utilizados, demostraremos teoremas esenciales y resolveremos ejercicios prácticos para dominar esta técnica.
Si deseas repasar conceptos básicos antes de continuar, te recomendamos leer nuestro artículo sobre Introducción a la Estadística.
1. Coeficiente de Correlación de Pearson
El coeficiente de Pearson ($r$) mide la relación lineal entre dos variables continuas. Se define como:
Ejemplo: Calcular $r$ para los datos $(X, Y) = \{(1,2), (2,4), (3,6)\}$.
Solución: $\bar{X} = 2$, $\bar{Y} = 4$, $r = 1$ (correlación perfecta).
2. Correlación de Spearman
Para datos ordinales o no lineales, usamos el coeficiente $\rho$ de Spearman:
Teorema 1: Propiedades de Spearman
$\rho$ es invariante bajo transformaciones monótonas. Si $f$ y $g$ son funciones crecientes, entonces $\rho(f(X), g(Y)) = \rho(X, Y)$.
Demostración: Como los rangos se preservan bajo transformaciones monótonas, $\rho$ no cambia.
3. Matrices de Correlación
En múltiples variables, construimos una matriz $R$ donde $R_{ij} = \text{cor}(X_i, X_j)$.
Ejemplo: Para tres variables con $r_{12} = 0.3$, $r_{13} = -0.5$, $r_{23} = 0.1$, la matriz es:
$$ R = \begin{pmatrix}
1 & 0.3 & -0.5 \\
0.3 & 1 & 0.1 \\
-0.5 & 0.1 & 1
\end{pmatrix} $$
4. Pruebas de Significancia
Teorema 2: Distribución de $r$ bajo $H_0$
Si $X$ e $Y$ son independientes, entonces:
$$ T = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} \sim t_{n-2} $$
Demostración: Bajo $H_0$, $r$ sigue una distribución con media 0 y varianza $\frac{1}{n-2}$.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1
Calcula $r$ para $(1,3), (2,5), (4,8)$.
Solución: $\bar{X} = 2.33$, $\bar{Y} = 5.33$, $r = 0.997$.
Ejercicio 2
Prueba si $r = 0.6$ con $n = 25$ es significativo ($\alpha = 0.05$).
Solución: $T = 3.67 > t_{23,0.025} = 2.07$ → Rechazamos $H_0$.
Aplicaciones Prácticas
El análisis de correlación se usa en:
- Finanzas: Relación entre activos.
- Medicina: Efecto de fármacos vs. recuperación.
- Marketing: Publicidad y ventas.
Para profundizar en aplicaciones financieras, visita Estadística Financiera.
Conclusión
Hemos explorado los métodos de correlación, desde Pearson hasta matrices multivariadas. Los teoremas demostrados y ejercicios resueltos refuerzan la teoría, mientras que las aplicaciones muestran su utilidad en diversos campos. Dominar estas técnicas es esencial para el análisis de datos moderno.
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