Introducción
Las distribuciones de probabilidad son herramientas fundamentales en estadística y probabilidad que nos permiten modelar el comportamiento de variables aleatorias. Desde predecir el número de clientes que llegarán a una tienda hasta calcular la probabilidad de que un medicamento sea efectivo, las distribuciones de probabilidad tienen aplicaciones en casi todos los campos del conocimiento. En este artículo, exploraremos los conceptos básicos, teoremas clave, ejemplos prácticos y ejercicios resueltos para dominar este tema esencial.
Conceptos Básicos
Una distribución de probabilidad describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los valores de una variable aleatoria. Existen dos tipos principales:
- Discretas: Para variables que toman valores contables (ej. número de éxitos en ensayos).
- Continuas: Para variables que pueden tomar cualquier valor en un intervalo (ej. tiempo, peso).
La función de masa de probabilidad (PMF) se usa para distribuciones discretas, mientras que la función de densidad de probabilidad (PDF) se emplea para continuas.
Distribuciones Discretas
Teorema 1: Distribución Binomial
Si $X$ sigue una distribución binomial con $n$ ensayos y probabilidad de éxito $p$, entonces:
$$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
Demostración: Considera $n$ ensayos independientes con probabilidad $p$ de éxito. El número de secuencias con exactamente $k$ éxitos es $\binom{n}{k}$, y cada una tiene probabilidad $p^k(1-p)^{n-k}$.
Ejemplo Binomial:
Si lanzamos una moneda justa 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?
Solución: $X \sim Binomial(n=10, p=0.5)$
$$P(X=3) = \binom{10}{3}(0.5)^3(0.5)^7 \approx 0.1172$$
Teorema 2: Distribución de Poisson
Si $X$ sigue una distribución de Poisson con parámetro $\lambda$, entonces:
$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$
Demostración: Se obtiene como límite de la binomial cuando $n \to \infty$ y $np \to \lambda$.
Distribuciones Continuas
Teorema 3: Distribución Normal
Si $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, su función de densidad es:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
Demostración: Se basa en el Teorema del Límite Central y propiedades de la función exponencial.
Ejemplo Normal:
Las alturas de adultos varones siguen $N(175, 10^2)$ cm. ¿Qué porcentaje mide entre 165 y 185 cm?
Solución: Calculamos $P(165 < X < 185) = P(-1 < Z < 1) \approx 0.6826$ (68.26%).
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1 (Binomial)
Un examen tiene 10 preguntas de opción múltiple con 4 opciones cada una. Si un estudiante responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente 3?
Solución: $X \sim Binomial(n=10, p=0.25)$
$$P(X=3) = \binom{10}{3}(0.25)^3(0.75)^7 \approx 0.2503$$
Ejercicio 2 (Poisson)
Un call center recibe 5 llamadas por hora en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 2 llamadas en una hora?
Solución: $X \sim Poisson(\lambda=5)$
$$P(X=2) = \frac{e^{-5}5^2}{2!} \approx 0.0842$$
Ejercicio 3 (Normal)
Los puntajes de un test siguen $N(500, 100^2)$. ¿Qué puntaje está en el percentil 90?
Solución: Buscamos $x$ tal que $P(X \leq x) = 0.90$. Usando la tabla normal:
$$x = \mu + z\sigma = 500 + 1.28 \times 100 = 628$$
Ejercicio 4 (Exponencial)
El tiempo entre llegadas a una tienda sigue una exponencial con media 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima llegada ocurra en menos de 5 minutos?
Solución: $\lambda = 1/10$, $P(X < 5) = 1 - e^{-0.5} \approx 0.3935$
Ejercicio 5 (Uniforme)
Un autobús pasa cada 20 minutos. Si llegas al azar, ¿cuál es la probabilidad de esperar menos de 8 minutos?
Solución: $X \sim Uniforme(0,20)$
$$P(X < 8) = \frac{8}{20} = 0.4$$
Aplicaciones Prácticas
Las distribuciones de probabilidad tienen numerosas aplicaciones:
- Negocios: Modelar demanda de productos usando Poisson.
- Medicina: Analizar tiempos de supervivencia con Weibull.
- Ingeniería: Control de calidad con distribuciones normales.
- Finanzas: Modelar rendimientos de acciones.
Para profundizar en aplicaciones financieras, consulta nuestro artículo sobre Probabilidad en Finanzas.
Conclusión
En este artículo hemos explorado las distribuciones de probabilidad más importantes, sus propiedades matemáticas y aplicaciones prácticas. Desde la binomial para eventos discretos hasta la normal para fenómenos continuos, estas herramientas son esenciales para el análisis estadístico. Para complementar este conocimiento, te recomendamos nuestro artículo sobre Teorema del Límite Central, que explica por qué la distribución normal es tan prevalente.
Dominar estos conceptos te permitirá modelar situaciones reales, tomar decisiones basadas en datos y comprender mejor el mundo que nos rodea.
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